Die Hypotenuse berechnen
Beide Katheten sind bekannt, die Hypotenuse \(c\) ist gesucht.
- Ansatz:\(c^2=a^2+b^2\).
- Wurzel ziehen:\(c=\sqrt{a^2+b^2}\) — nur die positive Lösung, denn \(c\) ist eine Länge.
- GTR:SHIFT x² für \(\sqrt{\phantom{x}}\), dann 6 x² + 8 x² EXE → \(10\).
- Probe:\(c\) ist länger als jede Kathete und kürzer als \(a+b\).
Hypotenuse: Sind beide Katheten bekannt, gilt \(c^2=a^2+b^2\).
Formel: \(c=\sqrt{a^2+b^2}\) — nur die positive Lösung, denn \(c\) ist eine Länge.
Probe: \(c\) ist länger als jede Kathete und kürzer als \(a+b\).
Eine Kathete berechnen
Jetzt sind die Hypotenuse \(c\) und eine Kathete bekannt. Man stellt den Satz nach der gesuchten Kathete um.
Herleitung:
- CAS:
solve(x^2+12^2=13^2,x)→x=−5 or x=5; als Länge zählt nur \(5\,\mathrm{cm}\).
Wähle, welche Seite gesucht ist, und stelle die beiden bekannten Seiten ein. Das Dreieck wird maßstäblich gezeichnet und die Rechnung läuft mit.
Halte fest: Für die Hypotenuse werden die Quadrate addiert, für eine Kathete wird vom Hypotenusenquadrat subtrahiert.
Hypotenuse: \(c=\sqrt{a^2+b^2}\) · Kathete: \(a=\sqrt{c^2-b^2}\)
Umstellen: Sind \(c\) und eine Kathete bekannt, stellt man den Satz des Pythagoras nach der gesuchten Kathete um.
Merkregel: Für die Hypotenuse werden die Quadrate addiert, für eine Kathete wird subtrahiert.
Länge: Beim Lösen zählt nur die positive Lösung.
Allgemeine Hinweise
Minus bei der Kathete
\(a=\sqrt{c^2+b^2}\) wäre länger als die Hypotenuse — das kann nicht stimmen.
Keine Wurzel aus Summanden
\(\sqrt{36+64}=10\), aber \(\sqrt{36}+\sqrt{64}=14\). Erst addieren, dann die Wurzel ziehen.
Gleiche Einheiten
Vor dem Rechnen alles in dieselbe Einheit umwandeln: \(80\,\mathrm{cm}\) und \(1{,}5\,\mathrm{m}\) als \(0{,}8\,\mathrm{m}\) und \(1{,}5\,\mathrm{m}\).