Strecken konstruieren

Die Wurzelschnecke

\(\sqrt2\) hat unendlich viele Nachkommastellen — messen kann man es nicht. Konstruieren schon: als Hypotenuse eines Dreiecks.

Start:Katheten \(1\,\mathrm{cm}\) und \(1\,\mathrm{cm}\) → Hypotenuse \(\sqrt{1+1}\,\mathrm{cm}=\sqrt2\,\mathrm{cm}\).
Weiter:senkrecht an das Ende der Hypotenuse wieder \(1\,\mathrm{cm}\) anlegen.
Neue Hypotenuse:verbindet den Mittelpunkt mit dem neuen Ende.

Herleitung:

\(x^2=\left(\sqrt n\right)^2+1^2\)

vereinfachen

Katheten: die alte Hypotenuse \(\sqrt n\) und die neue Strecke \(1\).

\(x^2=n+1\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

Wurzel und Quadrat heben sich auf.

\(x=\sqrt{n+1}\)

Ergebnis

Jede neue Hypotenuse ist um eins „unter der Wurzel“ länger.

Starte die Schnecke oder baue sie Schritt für Schritt. Der Zirkelbogen überträgt jede neue Hypotenuse auf den Zahlenstrahl.

Halte fest: Aus \(\sqrt n\) und \(1\) wird \(\sqrt{n+1}\). Bei \(\sqrt4\), \(\sqrt9\) und \(\sqrt{16}\) landet der Zirkel genau auf \(2\), \(3\) und \(4\).

Merke

Wurzelschnecke: Katheten \(\sqrt n\) und \(1\) \(\;\Rightarrow\;\) Hypotenuse \(\sqrt{n+1}\)

Bauen: Man legt senkrecht an das Ende der Hypotenuse wieder \(1\,\mathrm{cm}\) an; die neue Hypotenuse verbindet den Mittelpunkt mit dem neuen Ende.

Übertragen: Der Zirkelbogen überträgt jede Hypotenuse auf den Zahlenstrahl; bei \(\sqrt4\), \(\sqrt9\), \(\sqrt{16}\) landet er auf \(2\), \(3\), \(4\).

Wurzeln direkt konstruieren

Für eine einzelne Wurzel braucht man nicht die ganze Schnecke — ein passendes Dreieck genügt.

Als Summe:\(13=4+9\) → Katheten \(2\,\mathrm{cm}\) und \(3\,\mathrm{cm}\), Hypotenuse \(\sqrt{13}\,\mathrm{cm}\).
Als Differenz:\(7=16-9\) → Kathete \(3\,\mathrm{cm}\), Senkrechte im Endpunkt, Kreis mit \(4\,\mathrm{cm}\) um den anderen Endpunkt: die zweite Kathete ist \(\sqrt7\,\mathrm{cm}\).
Mit dem Höhensatz:\(p=n\), \(q=1\) → \(h=\sqrt{n\cdot1}=\sqrt n\).
Übertragen:Zirkel in \(0\) einstechen, auf die Länge der Strecke öffnen, Bogen bis zum Zahlenstrahl.

Merke

Summe: Ist der Radikand eine Summe, z. B. \(13=4+9\), sind \(2\,\mathrm{cm}\) und \(3\,\mathrm{cm}\) die Katheten und \(\sqrt{13}\,\mathrm{cm}\) die Hypotenuse.

Differenz: Ist er eine Differenz, z. B. \(7=16-9\), ist \(\sqrt7\,\mathrm{cm}\) die zweite Kathete bei Hypotenuse \(4\,\mathrm{cm}\) und Kathete \(3\,\mathrm{cm}\).

Höhensatz: Mit \(p=n\) und \(q=1\) ist \(h=\sqrt n\).

Allgemeine Hinweise

Senkrecht zur Hypotenuse

Die neue Strecke \(1\,\mathrm{cm}\) steht senkrecht auf der letzten Hypotenuse — nicht auf der letzten Kathete.

Fehler wachsen mit

Jedes Dreieck baut auf dem vorigen auf. Spitzer Bleistift und sauberes Geodreieck lohnen sich.

Quadratzahlen suchen

Erst prüfen, ob \(n\) Summe oder Differenz zweier Quadratzahlen ist: \(10=1+9\), \(5=9-4\).