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Modellieren und Optimieren

20 Meter Zaun, eine Hauswand, ein Hühnergehege: Wie groß kann die Fläche höchstens werden?

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Vom Text zur Funktion

Ein rechteckiges Gehege liegt an einer Hauswand. Für die drei übrigen Seiten gibt es \(20\,\mathrm m\) Zaun. Modellieren heißt: die Situation in eine Funktion übersetzen.

  • Variable:\(x\) = Breite des Geheges in m (die beiden Seiten weg von der Wand).
  • Nebenbedingung:Länge an der Wand \(=20-2x\), weil der Zaun genau reicht.
  • Zielfunktion:Fläche \(A(x)=x\cdot(20-2x)\) in m².
  • Sinnvolle Werte:\(0<x<10\) — sonst gibt es kein Gehege.

Ziehe die Ecke \(E\) des Geheges (oder Pfeiltasten) und beobachte die Fläche im Graphen. Mit „Abwickeln“ legst du den Zaun gerade — er bleibt immer \(20\,\mathrm m\) lang.

Zaun an der Hauswand

Halte fest: Der Zaun ist immer gleich lang, die Fläche aber nicht — ihr Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem größten Wert im Scheitel.

Merke

Modellieren: Die Situation wird in eine Funktion übersetzt.

Schritte: Variable festlegen, Nebenbedingung aufstellen, Zielfunktion bilden, sinnvolle Werte angeben.

Beispiel Gehege: \(x\) ist die Breite in m, die Länge an der Wand ist \(20-2x\), die Fläche \(A(x)=x\cdot(20-2x)\) mit \(0<x<10\).

Ergebnis: Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem größten Wert im Scheitel.

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Das Optimum im Scheitelpunkt

Der größte Wert einer nach unten geöffneten Parabel steht in der Scheitelpunktform. Also: umformen.

Herleitung:

\(A(x)=x\,(20-2x)\)
| ausmultiplizieren
Start: Zielfunktion aus Phase 1.
\(A(x)=-2x^2+20x\)
| \(-2\) ausklammern
Allgemeine Form mit \(a=-2\): nach unten geöffnet.
\(A(x)=-2\,(x^2-10x)\)
| quadr. Ergänzung
Die Klammer vorbereiten wie bei der quadratischen Ergänzung.
\(A(x)=-2\,\big((x-5)^2-25\big)\)
| ausmultiplizieren
\(x^2-10x=(x-5)^2-25\).
\(A(x)=-2\,(x-5)^2+50\)
Ergebnis
Scheitelpunkt \(S(5\,|\,50)\).
  • Antwort:\(5\,\mathrm m\) breit, \(20-10=10\,\mathrm m\) lang — höchstens \(50\,\mathrm{m^2}\).
  • Kurzer Weg:Nullstellen von \(x\,(20-2x)\) sind \(0\) und \(10\); der Scheitel liegt in der Mitte bei \(x=5\).
Merke

Optimieren: Die Zielfunktion \(A(x)=a\,(x-d)^2+e\) mit \(a<0\) hat den größten Wert \(e\) bei \(x=d\).

Vorgehen: In die Scheitelpunktform umformen und den Scheitel ablesen.

Kurzer Weg: Der Scheitel liegt in der Mitte der Nullstellen.

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Allgemeine Hinweise

Die Wand braucht keinen Zaun

Nur drei Seiten werden eingezäunt: \(2x+\text{Länge}=20\). Wer vier Seiten ansetzt, bekommt ein anderes Ergebnis.

Frage vollständig beantworten

Gefragt sind oft die Maße und die Fläche. \(x=5\) allein ist noch keine Antwort.

Ergebnis prüfen

Liegt \(x\) im sinnvollen Bereich? Ergeben Breite und Länge zusammen wieder \(20\,\mathrm m\) Zaun: \(5+10+5=20\) ✓.

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