Die pq-Formel
Sind alle Glieder vorhanden, hilft kein Sonderfall. Die quadratische Ergänzung löst dann jede Gleichung in Normalform \(x^2+px+q=0\).
- Normalform:vor \(x^2\) steht \(1\) — sonst erst durch \(a\) teilen.
Herleitung:
pq-Formel: \(x^2+px+q=0 \;\Rightarrow\; x_{1,2}=-\tfrac p2\pm\sqrt{\left(\tfrac p2\right)^2-q}\)
Normalform: Vor \(x^2\) muss \(1\) stehen, sonst zuerst durch \(a\) teilen.
Herkunft: Sie folgt aus der quadratischen Ergänzung und löst jede Gleichung in Normalform, wenn alle Glieder vorhanden sind.
Die Diskriminante
Der Term unter der Wurzel entscheidet, wie viele Lösungen es gibt. Er heißt Diskriminante \(D=\left(\tfrac p2\right)^2-q\).
- \(D>0\):zwei Lösungen — die Parabel \(y=x^2+px+q\) schneidet die \(x\)-Achse zweimal.
- \(D=0\):eine Lösung \(x=-\tfrac p2\) — der Scheitel liegt auf der \(x\)-Achse.
- \(D<0\):keine Lösung — die Parabel liegt ganz über der \(x\)-Achse.
Erst tippen, dann prüfen: Wie viele Lösungen hat die Gleichung? Rechne im Kopf nur \(D\) aus — der Graph zeigt dir danach, ob du richtig lagst.
Halte fest: Das Vorzeichen von \(D\) sagt die Anzahl der Nullstellen voraus — noch bevor man die Wurzel zieht.
Diskriminante: \(D=\left(\tfrac p2\right)^2-q\), der Term unter der Wurzel, bestimmt die Anzahl der Lösungen.
\(D>0\): zwei Lösungen; die Parabel \(y=x^2+px+q\) schneidet die \(x\)-Achse zweimal.
\(D=0\): eine Lösung \(x=-\tfrac p2\); der Scheitel liegt auf der \(x\)-Achse.
\(D<0\): keine Lösung; die Parabel liegt ganz über der \(x\)-Achse.
Allgemeine Hinweise
Erst die Normalform
\(2x^2-4x-6=0\) zuerst durch \(2\) teilen: \(x^2-2x-3=0\). Sonst stimmen \(p\) und \(q\) nicht.
Vorzeichen mitnehmen
Bei \(x^2-2x-8=0\) ist \(p=-2\) und \(q=-8\). Dann ist \(-\tfrac p2=+1\) und \(-q=+8\).
Probe mit Vieta
Die Lösungen addiert ergeben \(-p\), multipliziert \(q\): \(4+(-2)=2\), \(4\cdot(-2)=-8\). Mehr dazu bei der faktorisierten Form.