Zwei Stufen nacheinander
Viele Zufallsexperimente bestehen aus zwei Teilen hintereinander: zweimal würfeln, zweimal ziehen, erst drehen, dann werfen.
- Zweistufig:zwei Teilexperimente nacheinander, jedes mit eigenen Ergebnissen.
- Ergebnis:ein Paar, z. B. (rot, blau) — erst Rot, dann Blau.
- Baumdiagramm:Die erste Verzweigung zeigt Stufe 1; an jedem Ast beginnt die Verzweigung von Stufe 2.
- Pfad:Jeder Weg vom Start bis zum Ende steht für genau ein Ergebnis.
Zweistufiges Experiment: zwei Teilexperimente nacheinander, jedes mit eigenen Ergebnissen.
Ergebnis: ein Paar, zum Beispiel (rot, blau): erst Rot, dann Blau.
Baumdiagramm: Die erste Verzweigung zeigt Stufe 1, an jedem Ast beginnt die Verzweigung von Stufe 2. Jeder Pfad vom Start bis zum Ende steht für genau ein Ergebnis.
Mit oder ohne Zurücklegen
Beim Ziehen aus einer Urne entscheidet das Zurücklegen darüber, wie die zweite Stufe aussieht.
- Mit Zurücklegen:Vor dem 2. Zug ist die Urne wie am Anfang — Stufe 2 sieht aus wie Stufe 1.
- Ohne Zurücklegen:eine Kugel weniger in der Urne, und zwar eine von der zuerst gezogenen Farbe.
- Beispiel:3 rote, 2 blaue Kugeln, ohne Zurücklegen: nach Rot noch \(\frac{2}{4}\) rot, nach Blau noch \(\frac{3}{4}\) rot.
Bestücke die Urne mit roten und blauen Kugeln und schalte zwischen „mit“ und „ohne Zurücklegen“ um. Wähle die erste Kugel, um zu sehen, woraus der zweite Zug erfolgt.
Halte fest: Ohne Zurücklegen hängt die zweite Stufe vom ersten Zug ab — nach Rot und nach Blau stehen unterschiedliche Brüche.
Mit Zurücklegen: Vor dem 2. Zug ist die Urne wie am Anfang, Stufe 2 sieht aus wie Stufe 1.
Ohne Zurücklegen: Stufe 2 hat den Nenner \(n-1\), die zuerst gezogene Farbe eine Kugel weniger.
Folge: Ohne Zurücklegen hängt die zweite Stufe vom ersten Zug ab: Nach Rot und nach Blau stehen unterschiedliche Brüche.
Allgemeine Hinweise
Reihenfolge zählt
(rot, blau) und (blau, rot) sind zwei verschiedene Ergebnisse — also zwei verschiedene Pfade im Baum.
Zwei auf einmal
Greift man zwei Kugeln gleichzeitig, rechnet man wie beim Ziehen ohne Zurücklegen.
Ungekürzt lesen
\(\frac{2}{4}\) verrät mehr als \(\frac12\): Es sind noch 4 Kugeln in der Urne, 2 davon rot.