Vom Zentrum aus strecken
Eine zentrische Streckung vergrößert oder verkleinert eine Figur von einem festen Punkt aus, dem Streckzentrum \(Z\).
- Strahl:Von \(Z\) aus einen Strahl durch den Punkt \(P\) zeichnen.
- Bildpunkt:\(P'\) liegt auf diesem Strahl, \(k\)-mal so weit von \(Z\) entfernt wie \(P\).
- Alle Ecken:Für jede Ecke so vorgehen, dann die Bildpunkte verbinden.
- Zentrum:\(Z\) selbst bleibt fest, es ist sein eigener Bildpunkt.
Ziehe das Zentrum \(Z\) oder den Bildpunkt \(A'\) auf seinem Strahl. Achte auf die Seiten des Bilddreiecks.
Halte fest: Jede Bildstrecke ist \(k\)-mal so lang wie ihre Originalstrecke und liegt parallel zu ihr — das Bild ist zum Original ähnlich.
Zentrische Streckung: Sie vergrößert oder verkleinert eine Figur von einem festen Punkt aus, dem Streckzentrum \(Z\).
Bildpunkt: \(P'\) liegt auf dem Strahl von \(Z\) durch \(P\) und ist \(k\)-mal so weit von \(Z\) entfernt wie \(P\).
Konstruktion: Das Verfahren für jede Ecke anwenden und die Bildpunkte verbinden. \(Z\) ist sein eigener Bildpunkt.
Ergebnis: Jede Bildstrecke ist \(k\)-mal so lang wie die Originalstrecke und parallel zu ihr; das Bild ist zum Original ähnlich.
Was beim Strecken gleich bleibt
- Längen:\(\overline{A'B'}=k\cdot\overline{AB}\) für jede Strecke.
- Parallel:Bildstrecke und Originalstrecke sind parallel.
- Winkel:bleiben gleich groß.
- Lage von P′:\(k>1\): hinter \(P\) · \(0<k<1\): zwischen \(Z\) und \(P\).
- Z und k finden:Geraden \(AA'\), \(BB'\) schneiden sich in \(Z\); dann \(k=\overline{ZA'}:\overline{ZA}\).
Zentrische Streckung: \(\overline{ZP'}=k\cdot\overline{ZP}\) und \(\overline{A'B'}=k\cdot\overline{AB}\) für jede Strecke.
Eigenschaften: Bildstrecke und Originalstrecke sind parallel, Winkel bleiben gleich groß.
Lage von \(P'\): \(k>1\): hinter \(P\). \(0<k<1\): zwischen \(Z\) und \(P\).
Z und k finden: Die Geraden \(AA'\) und \(BB'\) schneiden sich in \(Z\); dann ist \(k=\overline{ZA'}:\overline{ZA}\).
Allgemeine Hinweise
Immer von Z aus messen
\(k\) ist \(\overline{ZA'}:\overline{ZA}\), nicht \(\overline{AA'}:\overline{ZA}\). Bei \(k=2\) ist \(\overline{AA'}\) genauso lang wie \(\overline{ZA}\).
Mit Zirkel übertragen
Für \(k=2\) die Strecke \(\overline{ZA}\) mit dem Zirkel abgreifen und hinter \(A\) noch einmal abtragen.
Kleiner als 1 verkleinert
Bei \(k=0{,}5\) liegt das Bild zwischen \(Z\) und der Figur und ist halb so groß.