Höhen mit der Schattenmethode
Was man nicht messen kann, berechnet man aus ähnlichen Dreiecken, deren Seiten man messen kann.
- Sonnenstrahlen:sind parallel und treffen Stab und Baum im gleichen Winkel.
- Rechte Winkel:Stab und Baum stehen senkrecht auf dem Boden.
- Also:Die Dreiecke aus Stab, Schatten, Strahl und aus Baum, Schatten, Strahl sind ähnlich (WW).
- Messen:Stablänge \(s\), Stabschatten \(t\), Baumschatten \(T\) — gesucht ist die Baumhöhe \(h\).
Der Stab ist \(1{,}5\,\mathrm{m}\) lang. Ziehe die beiden Enden des Maßbands, miss erst den Stabschatten, dann den Baumschatten, und übernimm jeden Wert mit dem passenden Knopf.
Halte fest: Der Baum ist genau so oft höher als der Stab, wie sein Schatten länger ist — egal, wie hoch die Sonne steht.
Schattenmethode: \(h=s\cdot\dfrac{T}{t}\) mit Stablänge \(s\), Stabschatten \(t\), Baumschatten \(T\) und gesuchter Baumhöhe \(h\).
Begründung: Sonnenstrahlen sind parallel, Stab und Baum stehen senkrecht: Beide Dreiecke sind nach WW ähnlich.
Merksatz: Der Baum ist so oft höher als der Stab, wie sein Schatten länger ist.
Entfernungen über einen Fluss
Auch Breiten, die man nicht abschreiten kann, liefert eine Strahlensatzfigur.
- Ziel:Am anderen Ufer einen Baum \(Z\) anpeilen.
- Abstecken:Am eigenen Ufer zwei parallele Strecken \(\overline{AB}\) und \(\overline{A'B'}\) mit Pflöcken markieren, die Punkte liegen auf zwei Peillinien zu \(Z\).
- Messen:\(\overline{AB}\), \(\overline{A'B'}\) und den Abstand \(\overline{AA'}\) der Parallelen.
- Rechnen:\(\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA}+\overline{AA'}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}\) nach \(\overline{ZA}\) auflösen.
Entfernung über einen Fluss: Man steckt am eigenen Ufer zwei parallele Strecken \(\overline{AB}\) und \(\overline{A'B'}\) ab, deren Punkte auf zwei Peillinien zum Punkt \(Z\) am anderen Ufer liegen.
Messen: \(\overline{AB}\), \(\overline{A'B'}\) und den Abstand \(\overline{AA'}\) der Parallelen.
Rechnen: \(\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA}+\overline{AA'}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}\), dann nach \(\overline{ZA}\) auflösen.
Allgemeine Hinweise
Einheiten angleichen
Stab in cm, Schatten in m? Erst alles in dieselbe Einheit umrechnen, dann ins Verhältnis setzen.
Gleichzeitig messen
Die Sonne wandert. Beide Schatten müssen im selben Moment gemessen werden, sonst stimmt der Winkel nicht.
Messfehler wachsen mit
\(0{,}1\,\mathrm{m}\) Fehler beim kurzen Stabschatten verfälscht die Höhe stark. Den kurzen Schatten besonders genau messen.