So ist ein Ähnlichkeitsbeweis aufgebaut
Viele Sätze über Strecken lassen sich zeigen, indem man in der Figur zwei ähnliche Dreiecke findet.
- 1. Dreiecke:zwei Dreiecke suchen, in denen die gesuchten Strecken vorkommen.
- 2. Winkel:zwei gleiche Winkel begründen (rechter Winkel, gemeinsamer Winkel, Scheitel- oder Stufenwinkel).
- 3. Ähnlichkeit:mit dem Hauptähnlichkeitssatz (WW) folgern.
- 4. Verhältnis:entsprechende Seiten ins gleiche Verhältnis setzen.
- 5. Umformen:bis die Behauptung dasteht.
Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) teilt die Höhe \(h\) die Hypotenuse in \(p\) und \(q\). Bringe die Beweisschritte für den Kathetensatz \(a^2=c\cdot p\) in die richtige Reihenfolge — fährst du über eine Karte, leuchten die Dreiecke dazu auf.
Halte fest: Erst die Winkel, dann die Ähnlichkeit, dann das Verhältnis — in dieser Reihenfolge trägt jeder Schritt den nächsten.
Kathetensatz: \(a^2=c\cdot p\) und \(b^2=c\cdot q\).
Ähnlichkeitsbeweis: 1. zwei Dreiecke suchen, in denen die gesuchten Strecken vorkommen. 2. zwei gleiche Winkel begründen. 3. mit dem Hauptähnlichkeitssatz (WW) auf Ähnlichkeit schließen. 4. entsprechende Seiten ins gleiche Verhältnis setzen. 5. umformen, bis die Behauptung dasteht.
Winkelgründe: rechter Winkel, gemeinsamer Winkel, Scheitel- oder Stufenwinkel.
Daraus folgt der Satz des Pythagoras
Mit dem Kathetensatz für beide Katheten ist der Satz des Pythagoras nur noch Rechnen.
Herleitung:
Satz des Pythagoras: Aus dem Kathetensatz für beide Katheten folgt \(a^2+b^2=c^2\).
Idee: Man addiert \(a^2=c\cdot p\) und \(b^2=c\cdot q\) und nutzt, dass \(p+q=c\) die ganze Hypotenuse ergibt.
Allgemeine Hinweise
Nicht mit der Behauptung starten
Was bewiesen werden soll, darf im Beweis nicht als Begründung benutzt werden.
Jeder Schritt mit „weil“
Zu jeder Aussage gehört ein Grund: Winkelsumme, Scheitelwinkel, Stufenwinkel, gemeinsamer Winkel oder ein Satz.
Kleines Dreieck herausdrehen
Zeichne das Teildreieck noch einmal so gedreht, dass es wie das große liegt. Dann sieht man, welche Seiten zusammengehören.