Zufallsversuch und Ereignis
Ein Zufallsversuch hat mehrere mögliche Ausgänge — welcher eintritt, lässt sich nicht vorhersagen.
- Ergebnis:ein möglicher Ausgang, z. B. „Augenzahl 4“.
- Ergebnismenge \(\Omega\):alle Ergebnisse, beim Würfel \(\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\).
- Ereignis \(E\):eine Teilmenge von \(\Omega\), z. B. „gerade Zahl“: \(E = \{2; 4; 6\}\).
- Gegenereignis \(\bar E\):alle Ergebnisse, die nicht zu \(E\) gehören.
Ereignis: Teilmenge der Ergebnismenge \(\Omega\), zum Beispiel \(E = \{2; 4; 6\}\) für „gerade Zahl“.
Ergebnis: ein möglicher Ausgang eines Zufallsversuchs.
Ergebnismenge \(\Omega\): alle möglichen Ergebnisse, beim Würfel \(\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\).
Gegenereignis \(\bar E\): alle Ergebnisse, die nicht zu \(E\) gehören.
Die Laplace-Formel
Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, spricht man von einem Laplace-Versuch.
- Laplace-Versuch:fairer Würfel, Münze, Glücksrad mit gleich großen Feldern.
- Formel:Anzahl günstiger Ergebnisse durch Anzahl aller möglichen Ergebnisse.
- Wertebereich:\(P = 0\) heißt unmöglich, \(P = 1\) heißt sicher.
- Zählprinzip:bei zwei Stufen mit \(m\) und \(n\) Möglichkeiten gibt es \(m \cdot n\) Ergebnisse.
Laplace-Wahrscheinlichkeit: Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, spricht man von einem Laplace-Versuch (fairer Würfel, Münze, Glücksrad mit gleich großen Feldern).
\(P(E) = \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}\)
Wertebereich: \(P = 0\) heißt unmöglich, \(P = 1\) heißt sicher.
Zählprinzip: Bei zwei Stufen mit \(m\) und \(n\) Möglichkeiten gibt es \(m \cdot n\) Ergebnisse.
Allgemeine Hinweise
Nur bei gleichen Chancen
Günstig durch möglich gilt nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Bei ungleich großen Feldern stimmt es nicht.
Gegenereignis nutzen
\(P(\bar E) = 1 - P(E)\). Oft ist das Gegenereignis leichter zu zählen.
Probe mit Versuchen
Viele Drehungen zeigen, ob die berechnete Wahrscheinlichkeit passt. Die relative Häufigkeit liegt dann nahe dran.