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Bruchrechnung

Wahrscheinlichkeiten sind fast immer Brüche — Kürzen, Erweitern, Multiplizieren und Addieren auffrischen.

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Kürzen und Erweitern

Wahrscheinlichkeiten sind fast immer Brüche. Beim Kürzen und Erweitern ändert sich nur die Schreibweise eines Bruchs, nicht sein Wert.

  • Erweitern:Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren: \(\tfrac12 = \tfrac36\).
  • Kürzen:Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen: \(\tfrac{12}{18} = \tfrac23\).
  • Vollständig gekürzt:Zähler und Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1.
  • Wozu:gleiche Nenner herstellen oder Ergebnisse vereinfachen.

Gleicher Wert, andere Teile

Merke

Kürzen und Erweitern: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot k}{b \cdot k} = \dfrac{a : k}{b : k}\); dabei ändert sich nur die Schreibweise, nicht der Wert des Bruchs.

Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren.

Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen. Vollständig gekürzt ist ein Bruch, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben.

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Multiplizieren und Addieren

Im Baumdiagramm wird entlang eines Pfades multipliziert und zwischen Pfaden addiert — beides mit Brüchen.

  • Multiplizieren:Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: \(\tfrac23 \cdot \tfrac35 = \tfrac{6}{15} = \tfrac25\).
  • Vorher kürzen:spart große Zahlen beim Multiplizieren.
  • Addieren:nur bei gleichem Nenner die Zähler addieren: \(\tfrac16 + \tfrac26 = \tfrac36 = \tfrac12\).
  • Hauptnenner:verschiedene Nenner vorher gleich machen: \(\tfrac14 + \tfrac16 = \tfrac{3}{12} + \tfrac{2}{12} = \tfrac{5}{12}\).
Merke

Brüche multiplizieren: \(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}\); vorher kürzen spart große Zahlen.

Brüche addieren: Nur bei gleichem Nenner werden die Zähler addiert. Bei verschiedenen Nennern macht man sie zuerst über den Hauptnenner gleich.

Baumdiagramm: Entlang eines Pfades wird multipliziert, zwischen Pfaden addiert.

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Allgemeine Hinweise

Nie Nenner addieren

\(\tfrac14 + \tfrac14\) ist \(\tfrac24\), nicht \(\tfrac28\). Beim Addieren bleibt der Nenner stehen.

Erst kürzen, dann multiplizieren

Kürze über Kreuz, bevor du multiplizierst. So bleiben die Zahlen klein.

Ergebnis kürzen

Gib Wahrscheinlichkeiten vollständig gekürzt an. \(\tfrac{6}{15}\) schreibst du als \(\tfrac25\).

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