Vom Zufall zum Baum
Besteht ein Zufallsexperiment aus mehreren Teilversuchen hintereinander, heißt es mehrstufig. Ein Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten übersichtlich.
- Stufe:ein Teilversuch, z. B. ein Münzwurf.
- Knoten:Punkt, an dem sich der Baum verzweigt.
- Ast:Verbindung zwischen zwei Knoten — ein möglicher Ausgang der Stufe.
- Pfad:Weg von der Wurzel bis zum Ende — genau ein Ergebnis, z. B. (W|Z).
Mehrstufiges Zufallsexperiment: Mehrere Teilversuche hintereinander; das Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten.
Bausteine: Stufe: ein Teilversuch. Knoten: Verzweigung. Ast: ein möglicher Ausgang. Pfad: Weg von der Wurzel zum Ende, genau ein Ergebnis.
Anzahl der Pfade: Anzahl der Äste jeder Stufe multiplizieren: \(k_1 \cdot k_2 \cdot \ldots\)
Wahrscheinlichkeiten an den Ästen
An jeden Ast schreibt man, wie wahrscheinlich genau dieser Schritt ist.
- Astwahrscheinlichkeit:steht am Ast, z. B. \(\tfrac12\) für Wappen.
- Astsumme:alle Äste an einem Knoten ergeben zusammen 1.
- Laplace:sind alle \(k\) Ausgänge gleich wahrscheinlich, trägt jeder Ast \(\tfrac1k\).
- Ohne Zurücklegen:auf der zweiten Stufe ändern sich die Zahlen an den Ästen.
Astwahrscheinlichkeit: Sie steht am Ast. An jedem Knoten gilt \(p_1 + p_2 + \ldots = 1\).
Laplace: Bei \(k\) gleich wahrscheinlichen Ausgängen trägt jeder Ast \(\tfrac1k\).
Ohne Zurücklegen: Auf der zweiten Stufe ändern sich die Zahlen an den Ästen.
Allgemeine Hinweise
Reihenfolge zählt
(W|Z) und (Z|W) sind zwei verschiedene Pfade. Fasse sie nur zusammen, wenn die Aufgabe es verlangt.
Astsumme prüfen
Addiere an jedem Knoten die Astwahrscheinlichkeiten. Ergibt sich nicht 1, fehlt ein Ast oder eine Zahl stimmt nicht.
Zu großer Baum
Ab etwa 20 Pfaden lohnt das Zeichnen nicht mehr. Dann zählst du die Pfade mit der Multiplikation.