Drei mögliche Ergebnisse
Beim Umformen kann die Variable ganz wegfallen. Dann entscheidet die übrig gebliebene Aussage.
- Eine Lösung:am Ende steht \(x = \) Zahl, z. B. \(L = \{2\}\).
- Keine Lösung:\(x\) fällt weg und eine falsche Aussage bleibt, z. B. \(2 = 5\).
- Unendlich viele:\(x\) fällt weg und eine wahre Aussage bleibt, z. B. \(-3 = -3\).
- Lösungsmenge \(L\):enthält alle Lösungen in geschweiften Klammern.
Drei Fälle: Eine Lösung: am Ende steht \(x = \) Zahl. Keine Lösung: \(x\) fällt weg, eine falsche Aussage bleibt (\(L = \{\,\}\)). Unendlich viele Lösungen: \(x\) fällt weg, eine wahre Aussage bleibt (\(L = \mathbb{Q}\)).
Lösungsmenge: \(L\) enthält alle Lösungen in geschweiften Klammern.
Zwei Seiten als Geraden
Zeichnet man jede Seite der Gleichung als Gerade, sieht man sofort, welcher Fall vorliegt.
- Schnittpunkt:die Geraden schneiden sich einmal — genau eine Lösung.
- Parallel:gleiche Steigung, verschiedener Startwert — keine Lösung.
- Identisch:beide Seiten sind derselbe Term — unendlich viele Lösungen.
Grafisch: Jede Seite der Gleichung als Gerade zeichnen. Schnittpunkt: genau eine Lösung. Parallel (gleiche Steigung, anderer Startwert): keine Lösung. Identisch: unendlich viele Lösungen.
Gleiche x-Glieder: Stehen links und rechts gleich viele \(x\), gibt es keine oder unendlich viele Lösungen.
Allgemeine Hinweise
Nicht x = 0 schreiben
Wenn \(x\) wegfällt, heißt das nicht \(x = 0\). Entscheidend ist, ob die Restaussage wahr oder falsch ist.
Schreibweise
Die leere Menge schreibt man \(L = \{\,\}\). Sind alle Zahlen Lösung, schreibt man \(L = \mathbb{Q}\).
Probe mit zwei Zahlen
Vermutest du unendlich viele Lösungen, setze zwei verschiedene Zahlen ein. Beide müssen passen.