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Binomische Formeln

Drei besondere Produkte von Summen, die so oft vorkommen, dass man sie als fertige Formeln vorwärts und rückwärts nutzt.

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Drei feste Muster

Ein Produkt aus zwei Klammern mit denselben Gliedern lässt sich wie jedes Klammer-mal-Klammer-Produkt ausmultiplizieren. Weil dabei immer dasselbe Muster entsteht, merkt man sich das Ergebnis als Formel.

  • Binom:eine Summe oder Differenz aus genau zwei Gliedern, z. B. \(a + b\) oder \(x - 3\).
  • Quadrat eines Binoms:\((a + b)^2\) bedeutet \((a + b) \cdot (a + b)\) — das Binom wird mit sich selbst multipliziert.
  • Quadratglieder:\(a^2\) und \(b^2\) entstehen aus „erstes mal erstes“ und „zweites mal zweites“.
  • Mischglied:die beiden gemischten Produkte \(ab\) und \(ba\) sind gleich und werden zu \(2ab\) zusammengefasst.
  • Plus mal Minus:bei \((a + b)\cdot(a - b)\) heben sich die Mischglieder \(-ab\) und \(+ab\) auf.

Herleitung:

\((a + b)^2 = (a + b)\cdot(a + b)\)
| Quadrat
Das Quadrat schreibt man als Produkt zweier gleicher Klammern.
\(= a^2 + ab + ba + b^2\)
| jeder mit jedem
Vier Produkte wie bei jedem Produkt zweier Summen.
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
Ergebnis
\(ab\) und \(ba\) sind gleichartig und ergeben zusammen \(2ab\).
\((a - b)^2 = a^2 - ab - ba + b^2\)
| jeder mit jedem
Minus mal Minus ergibt Plus: \((-b)\cdot(-b) = +b^2\).
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
Ergebnis
Nur das Mischglied bekommt das Minus.
\((a + b)\cdot(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2\)
| jeder mit jedem
Die Mischglieder haben verschiedene Vorzeichen.
\((a + b)\cdot(a - b) = a^2 - b^2\)
Ergebnis
\(-ab + ba = 0\): Es bleibt die Differenz der Quadrate.
Merke

Die drei binomischen Formeln:

1. \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

2. \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

3. \((a + b)\cdot(a - b) = a^2 - b^2\)

Achtung: \((a + b)^2\) ist nie \(a^2 + b^2\) — das Mischglied \(2ab\) gehört dazu.

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Vorwärts und rückwärts

Jede Formel ist eine Gleichung: Von links nach rechts gelesen wird ausmultipliziert, von rechts nach links gelesen wird faktorisiert — die Summe wird wieder zum Produkt.

  • Flächenmodell:ein Quadrat mit der Seite \(a + b\) zerfällt in die Quadrate \(a^2\), \(b^2\) und zwei gleiche Rechtecke \(ab\).
  • Vorwärts:\(a\) und \(b\) im Binom erkennen und in die Formel einsetzen: \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\).
  • Auf die Glieder achten:steht im Binom \(2x\), dann ist \(a = 2x\) und \(a^2 = 4x^2\).
  • Rückwärts:zwei Quadratglieder suchen und prüfen, ob das Mischglied genau \(2ab\) ist: \(x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\).
  • Ohne Mischglied:eine Differenz zweier Quadrate ist die dritte Formel: \(x^2 - 49 = (x + 7)(x - 7)\).

Stelle die Längen \(a\) und \(b\) ein und wähle eine Formel. Mit ▶ erscheinen die Teilflächen nacheinander — bei der dritten Formel wird ein Streifen umgelegt.

Binomi-Flächen

Halte fest: Die Gesamtfläche ist immer die Summe der Teilflächen — beim Minus werden Streifen abgezogen, bei der dritten Formel wird nur umgelegt.

Merke

Faktorisieren mit binomischen Formeln:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)

\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)

\(a^2 - b^2 = (a + b)\cdot(a - b)\)

Prüfen: erst die beiden Quadrate \(a^2\) und \(b^2\) suchen, dann kontrollieren, ob das Mischglied genau \(2ab\) ist.

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Allgemeine Hinweise

Das Mischglied nicht vergessen

\((x + 4)^2\) ist nicht \(x^2 + 16\). Es fehlt \(2 \cdot x \cdot 4 = 8x\).

Faktoren mitquadrieren

Bei \((3x - 1)^2\) ist \(a = 3x\), also \(a^2 = 9x^2\) und nicht \(3x^2\). Setze das ganze Glied in Klammern ein.

Rückwärts mit Probe

Nicht jede Summe mit zwei Quadraten passt zu einer Formel. Multipliziere dein Ergebnis zur Probe wieder aus.

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