Zwei Geraden, ein Schnittpunkt
„Zwei Hefte und drei Stifte kosten 7 €“ — mit einer Gleichung allein bleibt der Preis offen. Erst eine zweite Information macht die Lösung eindeutig.
- Lineares Gleichungssystem:zwei lineare Gleichungen mit denselben Unbekannten \(x\) und \(y\), kurz LGS.
- Normalform:jede Gleichung hat die Form \(ax + by = c\).
- Lösung:ein Zahlenpaar \((x \mid y)\), das beide Gleichungen zugleich erfüllt.
- Beispiel:\(x + y = 5\) und \(x - y = 1\): \((3 \mid 2)\), denn \(3 + 2 = 5\) und \(3 - 2 = 1\).
Lineares Gleichungssystem: Zwei lineare Gleichungen mit denselben Unbekannten \(x\) und \(y\), kurz LGS; Normalform \(ax + by = c\).
Lösung: Ein Zahlenpaar \((x \mid y)\), das beide Gleichungen zugleich erfüllt — grafisch der Schnittpunkt beider Geraden.
Zeichnen und ablesen
Jede Gleichung ist eine Gerade. Du stellst beide nach \(y\) um, zeichnest sie und liest den Schnittpunkt ab.
- Umstellen:\(x + y = 5 \;\Rightarrow\; y = -x + 5\).
- Eine Lösung:verschiedene Steigungen — genau ein Schnittpunkt.
- Keine Lösung:gleiche Steigung, verschiedenes \(b\) — die Geraden sind parallel.
- Unendlich viele:beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.
- Probe:abgelesene Werte in beide Gleichungen einsetzen.
Vorgehen: Beide Gleichungen nach \(y\) umstellen, zeichnen und den Schnittpunkt ablesen; zur Probe in beide Gleichungen einsetzen.
Anzahl der Lösungen: Verschiedene Steigungen: eine Lösung. Gleiche Steigung, verschiedenes \(b\) (parallel): keine Lösung. Dieselbe Gerade: unendlich viele Lösungen.
Allgemeine Hinweise
Ablesen ist ungenau
Liegt der Schnittpunkt nicht auf einem Gitterpunkt, wird Ablesen zum Raten. Dann brauchst du ein Rechenverfahren.
Probe in beiden Gleichungen
Ein Punkt, der nur eine Gleichung erfüllt, liegt nur auf einer Geraden. Prüfe immer beide.
Steigungen vergleichen
Schon vor dem Zeichnen verraten die Steigungen, ob es einen, keinen oder unendlich viele Schnittpunkte gibt.