Vom Sachtext zur Gleichung
Fast jede Sachaufgabe zu linearen Funktionen folgt demselben Weg: vom Text in die Formelsprache und wieder zurück. Das nennt man Modellieren.
- Variablen festlegen:wofür stehen \(x\) und \(y\) — mit Einheit.
- Grundgebühr:fester Betrag am Anfang — der y-Achsenabschnitt \(b\).
- Preis pro Einheit:kommt für jede Einheit dazu — die Steigung \(m\).
- Beispiel:5 € Grundgebühr, 3 € pro Stunde: \(y = 3x + 5\).
- Antwortsatz:das Ergebnis wieder in der Sprache der Aufgabe formulieren.
Modellieren: Variablen mit Einheit festlegen, dann die Situation in eine Gleichung übersetzen. Am Ende das Ergebnis im Antwortsatz formulieren.
Grundgebühr: Fester Betrag am Anfang — der y-Achsenabschnitt \(b\).
Preis pro Einheit: Steigung \(m\).
\(y = m \cdot x + b\)
Zwei Tarife vergleichen
Stehen zwei Angebote nebeneinander, zeichnest du beide Geraden in ein Koordinatensystem. Wo sie sich schneiden, sind beide gleich teuer.
- Schnittpunkt:gemeinsamer Punkt beider Geraden — gleicher Preis bei gleichem \(x\).
- Berechnen:beide Terme gleichsetzen: \(0{,}5x + 12 = 1{,}5x + 4\), also \(x = 8\).
- Entscheiden:links vom Schnittpunkt ist die flachere Gerade teurer, rechts davon die steilere.
- Parallel:gleiche Steigung — kein Schnittpunkt, ein Tarif ist immer günstiger.
Gleich teuer: Der Schnittpunkt beider Geraden zeigt, wo beide Angebote bei gleichem \(x\) gleich viel kosten. Rechnerisch: Terme gleichsetzen.
\(m_A x + b_A = m_B x + b_B\)
Entscheiden: Links vom Schnittpunkt ist die flachere Gerade teurer, rechts die steilere.
Parallel: Gleiche Steigung bedeutet kein Schnittpunkt.
Allgemeine Hinweise
Grundgebühr ist b
Der feste Betrag gehört zu \(b\), der Betrag pro Einheit zu \(m\). Vertauscht ergibt sich eine völlig andere Gerade.
Einheiten mitschreiben
Schreib zu \(x\) und \(y\) immer die Einheit. Dann passt der Antwortsatz sicher zur Frage.
Schnittpunkt prüfen
Setze den x-Wert in beide Gleichungen ein. Beide müssen denselben Preis liefern.