Das Produkt bleibt gleich
4 Maler brauchen 6 Stunden, 8 Maler nur 3 Stunden. Wird die eine Größe größer, wird die andere im gleichen Verhältnis kleiner.
- Antiproportional:doppelt so viel \(x\) — halb so viel \(y\); dreimal so viel \(x\) — ein Drittel \(y\).
- Produktgleichheit:\(x \cdot y\) ist für alle Wertepaare gleich, z. B. \(4 \cdot 6 = 8 \cdot 3 = 24\).
- Gleichung:\(y = \tfrac{k}{x}\) mit der Konstanten \(k = x \cdot y\).
- Unterschied:proportional: Quotient \(y : x\) gleich; antiproportional: Produkt gleich.
Antiproportional: Doppelt so viel \(x\) bedeutet halb so viel \(y\). Das Produkt \(x\cdot y\) ist für alle Wertepaare gleich, z. B. \(4\cdot6=8\cdot3=24\).
\(x \cdot y = k \quad\Leftrightarrow\quad y = \dfrac{k}{x}\)
Unterschied: Proportional: der Quotient \(y:x\) ist gleich. Antiproportional: das Produkt ist gleich.
Der Graph ist eine Hyperbel
Jedes Wertepaar bildet mit den Achsen ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(k\). Die Eckpunkte aller dieser Rechtecke liegen auf einer gebogenen Kurve.
- Hyperbel:Graph von \(y = \tfrac{k}{x}\) — keine Gerade.
- Asymptoten:die Kurve kommt beiden Achsen beliebig nahe, berührt sie aber nie.
- \(x = 0\):nicht erlaubt, denn durch 0 kann man nicht teilen.
- Größeres \(k\):die Hyperbel rückt weiter vom Ursprung weg, ihre Form bleibt.
Graph: Antiproportional bedeutet Hyperbel, proportional Ursprungsgerade.
Hyperbel: Graph von \(y=\tfrac{k}{x}\). Sie nähert sich beiden Achsen beliebig, berührt sie aber nie (Asymptoten).
Definitionslücke: \(x=0\) ist nicht erlaubt.
Größeres \(k\): Die Hyperbel liegt weiter vom Ursprung entfernt.
Allgemeine Hinweise
Nicht jede fallende Zuordnung
Nimmt \(y\) ab, wenn \(x\) wächst, ist das noch nicht antiproportional. Prüfe immer, ob \(x \cdot y\) gleich bleibt.
Dreisatz umgekehrt
Beim antiproportionalen Dreisatz multiplizierst du, wo du sonst teilst. Erst auf 1 zurückrechnen, dann auf den gesuchten Wert.
Plausibel prüfen
Mehr Arbeiter, weniger Zeit — passt das Ergebnis zur Situation? Sonst hast du proportional gerechnet.