Die relative Häufigkeit stabilisiert sich
Am Anfang springt die relative Häufigkeit wild hin und her. Mit jedem weiteren Wurf ändert sie sich weniger.
- Kurze Reihe:nach 10 Würfen ist für die Sechs alles zwischen 0 und 0,5 üblich.
- Lange Reihe:nach 1000 Würfen liegt h fast immer nahe bei \(\tfrac16\).
- Jede Reihe anders:die Kurven verlaufen verschieden, landen aber im selben Bereich.
Starte mit ▶ drei Versuchsreihen gleichzeitig (Pause mit demselben Knopf, „+10 Würfe“ für Einzelschritte). Stelle auch „bis 10 000“ ein und achte im Readout auf den Abstand \(|H-n\cdot P|\).
Halte fest: Die relative Häufigkeit nähert sich der Wahrscheinlichkeit — der Unterschied der Anzahlen verschwindet dabei nicht.
Relative Häufigkeit: Bei wenigen Würfen springt sie stark, mit jedem weiteren Wurf ändert sie sich weniger. Bei sehr vielen Würfen liegt sie fast immer nahe bei der Wahrscheinlichkeit, z. B. \(\tfrac16\).
Absoluter Abstand: Er verschwindet dabei nicht: \(|H-n\cdot P|\) kann wachsen, nur der Anteil kommt näher.
Was das Gesetz sagt — und was nicht
Das empirische Gesetz der großen Zahlen verbindet Versuch und Wahrscheinlichkeit.
- Aussage:bei sehr vielen Versuchen liegt h nahe bei P.
- Keine Garantie:für eine kleine Versuchsreihe sagt es nichts voraus.
- Kein Ausgleich:nach fünf Würfen ohne Sechs ist die Sechs nicht „fällig“ — der Würfel hat kein Gedächtnis.
- Anzahlen:der Abstand \(|H-n\cdot P|\) darf wachsen; nur der Anteil kommt näher.
Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Für sehr große \(n\) gilt \(h_n(E)\approx P(E)\).
Keine Garantie: Für eine kleine Versuchsreihe sagt es nichts voraus.
Kein Ausgleich: Der Würfel hat kein Gedächtnis: nach fünf Würfen ohne Sechs ist die Sechs nicht „fällig“.
Allgemeine Hinweise
Die Sechs ist nie „dran“
Jeder Wurf hat wieder \(P(6)=\tfrac16\) — egal, was vorher gefallen ist.
Anteil, nicht Anzahl
Nach 6000 Würfen sind 1040 Sechsen normal: 40 mehr als erwartet, aber h = 0,173 liegt nah an 0,167.
Große Zahlen nutzen
Um eine Wahrscheinlichkeit zu schätzen: lieber 500 Würfe als 50 — und Versuchsreihen mehrerer Gruppen zusammenlegen.