Mit Klammern lösen und die Probe machen
- Wozu:Die Probe deckt Rechenfehler auf — sie gehört zu jeder Lösung.
Probe: In die Ausgangsgleichung einsetzen: Stimmen beide Seiten überein, ist die Lösung richtig.
Wozu: Die Probe deckt Rechenfehler auf und gehört zu jeder Lösung.
Keine oder unendlich viele Lösungen
- Keine Lösung:\(2x+3=2x+5\;|-2x\) führt zu \(3=5\) — falsch, also \(L=\{\,\}\).
- Unendlich viele:\(3(x+1)=3x+3\) führt zu \(3=3\) — wahr für jedes x, also \(L=\mathbb{Q}\).
- Am CAS:solve liefert dann false (keine Lösung) oder true (jede Zahl).
Schau dir die Gleichung an und sage voraus, wie viele Lösungen sie hat. „Prüfen“ zeigt beide Seiten für mehrere x-Werte und die umgeformte Gleichung.
Halte fest: Verschwindet x beim Umformen, entscheidet die übrige Aussage — falsch: keine Lösung, wahr: jede Zahl ist Lösung.
Sonderfälle: Eine falsche Aussage (z. B. \(0=2\)) bedeutet keine Lösung: \(L=\{\,\}\). Eine wahre Aussage (z. B. \(0=0\)) bedeutet, dass jede Zahl Lösung ist: \(L=\mathbb{Q}\).
Merkregel: Verschwindet \(x\) beim Umformen, entscheidet die übrige Aussage.
Allgemeine Hinweise
\(0=0\) heißt nicht \(x=0\)
Bleibt eine wahre Aussage ohne x übrig, ist jede Zahl Lösung: \(L=\mathbb{Q}\).
Probe in der Ausgangsgleichung
Immer in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, nicht in eine umgeformte — sonst bleibt ein früher Fehler unentdeckt.
Leere Menge richtig schreiben
Keine Lösung heißt \(L=\{\,\}\). \(L=\{0\}\) wäre die Lösung \(x=0\).