Unter der Null geht es weiter
Viele Größen können kleiner als null werden — dafür braucht man Zahlen mit Minuszeichen.
- Temperatur:\(-5\) °C heißt 5 Grad unter dem Gefrierpunkt.
- Kontostand:\(-40\) € heißt 40 € Schulden.
- Höhe:\(-10\) m heißt 10 m unter dem Meeresspiegel.
- Stockwerk:\(-1\) ist das erste Untergeschoss.
- Vorzeichen:\(+\) oder \(-\) vor der Zahl; statt \(+3\) schreibt man kurz \(3\). Die \(0\) hat kein Vorzeichen.
Wähle oben eine Situation und stelle Startwert und Abnahme ein. Beobachte, was passiert, sobald die Abnahme größer ist als der Startwert.
Halte fest: Ist die Abnahme größer als der Startwert, landet das Ergebnis unter null. Erst mit negativen Zahlen hat jede Subtraktion ein Ergebnis.
Negative Zahlen: Sie beschreiben Größen unter null, z. B. \(-5\) °C unter dem Gefrierpunkt, \(-40\) € Schulden, \(-10\) m unter dem Meeresspiegel.
Vorzeichen: \(+\) oder \(-\) vor der Zahl; statt \(+3\) schreibt man \(3\). Die \(0\) hat kein Vorzeichen.
Subtraktion: Erst mit negativen Zahlen hat jede Subtraktion ein Ergebnis.
Neue Zahlen, neue Zahlenmenge
In den natürlichen Zahlen hat \(3-5\) kein Ergebnis. Mit den negativen Zahlen geht jede Subtraktion auf.
- Natürliche Zahlen:\(\mathbb{N}=\{0;\,1;\,2;\,3;\,\ldots\}\).
- Ganze Zahlen:\(\mathbb{Z}=\{\ldots;\,-2;\,-1;\,0;\,1;\,2;\,\ldots\}\) — dazu kommen die negativen ganzen Zahlen.
- Rationale Zahlen:\(\mathbb{Q}\) — alle Brüche mit Vorzeichen, z. B. \(-\tfrac34\), \(-2{,}5\), \(\tfrac12\), \(7\).
- Gegenzahl:\(3\) und \(-3\) sind gleich weit von \(0\) entfernt, nur in entgegengesetzter Richtung.
- Enthalten:jede natürliche Zahl ist ganz, jede ganze Zahl ist rational.
Zahlbereiche: \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\). Jede natürliche Zahl ist ganz, jede ganze Zahl ist rational.
\(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\): Natürliche Zahlen \(\{0;1;2;\ldots\}\), ganze Zahlen mit den negativen ganzen Zahlen, rationale Zahlen als alle Brüche mit Vorzeichen.
Gegenzahl: \(3\) und \(-3\) sind gleich weit von \(0\) entfernt, nur in entgegengesetzter Richtung.
Allgemeine Hinweise
Vorzeichen oder Rechenzeichen?
In \(5-(-3)\) ist das erste Minus ein Rechenzeichen („minus“), das zweite ein Vorzeichen („negativ“). Deshalb steht \(-3\) in Klammern.
Gegenzahl finden
Nur das Vorzeichen umdrehen: Die Gegenzahl von \(-2{,}5\) ist \(2{,}5\), die von \(7\) ist \(-7\). Die \(0\) ist ihre eigene Gegenzahl.
Minus am GTR
Casio fx-CG50: Das Vorzeichen kommt von der Taste (−), das Rechenzeichen von −. (−) 3 − 5 EXE ergibt −8.