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Multiplikation und Division

Warum ergibt Minus mal Minus ausgerechnet Plus?

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Vorzeichen beim Multiplizieren

Man multipliziert die Beträge und bestimmt das Vorzeichen extra.

Herleitung:

\(2\cdot(-2)=-4\)
\(+\,2\)
Zweimal \(-2\) ergibt \(-4\).
\(1\cdot(-2)=-2\)
\(+\,2\)
Der erste Faktor sinkt um 1 — das Ergebnis steigt um 2.
\(0\cdot(-2)=0\)
\(+\,2\)
Das Muster läuft weiter …
\((-1)\cdot(-2)=2\)
Ergebnis
… also ist Minus mal Minus Plus.
  • Gleiche Vorzeichen:Ergebnis positiv: \((-4)\cdot(-5)=20\).
  • Verschiedene Vorzeichen:Ergebnis negativ: \((-4)\cdot5=-20\).
  • Mehrere Faktoren:gerade Anzahl negativer Faktoren → positiv, ungerade → negativ.
  • Null:\(0\cdot(-7)=0\) — die Null hat kein Vorzeichen.

Tippe zuerst: Wird das Ergebnis positiv oder negativ? Dann „Prüfen“ — der Pfeil auf der Zahlengeraden wird Schritt für Schritt gestreckt, gestaucht und bei jedem Minus an der Null gespiegelt.

Plus oder Minus?

Halte fest: Jeder negative Faktor oder Divisor spiegelt das Ergebnis an der Null. Bei gerader Anzahl Minuszeichen landet es rechts (positiv), bei ungerader links (negativ).

Merke

Multiplikation: Man multipliziert die Beträge und bestimmt das Vorzeichen extra.

Vorzeichen: Gleiche Vorzeichen ergeben positiv: \((-4)\cdot(-5)=20\). Verschiedene ergeben negativ: \((-4)\cdot5=-20\).

Mehrere Faktoren: Gerade Anzahl negativer Faktoren: positiv, ungerade Anzahl: negativ.

Null: \(0\cdot(-7)=0\).

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Dividieren wie multiplizieren

Für die Division gelten dieselben Vorzeichenregeln, denn sie ist die Umkehrung der Multiplikation.

  • Probe:\((-12):(-3)=4\), denn \(4\cdot(-3)=-12\).
  • Verschiedene Vorzeichen:\(15:(-5)=-3\).
  • Brüche:\(-\tfrac23\cdot\tfrac34=-\tfrac12\); dividieren heißt mit dem Kehrwert multiplizieren: \(-\tfrac12:\tfrac14=-\tfrac12\cdot4=-2\).
  • Durch null:nicht erlaubt — \(5:0\) hat kein Ergebnis.
Merke

Vorzeichenregel: \((+)\cdot(+)=(+)\), \((-)\cdot(-)=(+)\), \((+)\cdot(-)=(-)\) — ebenso bei der Division.

Probe: Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation: \((-12):(-3)=4\), denn \(4\cdot(-3)=-12\).

Brüche: Dividieren heißt, mit dem Kehrwert multiplizieren.

Durch null: Das ist nicht erlaubt.

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Allgemeine Hinweise

Nicht mit dem Addieren verwechseln

\((-3)+(-4)=-7\), aber \((-3)\cdot(-4)=12\). Beim Multiplizieren zählt nur die Anzahl der Minuszeichen.

Wo steht das Minus?

\(-\tfrac{6}{3}=\tfrac{-6}{3}=\tfrac{6}{-3}=-2\) — egal ob vor dem Bruch, im Zähler oder im Nenner.

Erst das Vorzeichen

Bei langen Produkten zuerst die Minuszeichen zählen, dann nur noch mit den Beträgen rechnen: \((-1)\cdot5\cdot(-2)\cdot(-3)\): drei Minus, also \(-30\).

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