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Volumen und Rauminhalt

Wie viel passt in einen Karton, ein Aquarium oder einen Messbecher? Das Volumen zählt Einheitswürfel — auch die, die man nicht sieht.

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Rauminhalt messen

Das Volumen (der Rauminhalt) gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt oder wie viel in ein Gefäß hineinpasst.

  • Einheitswürfel: Würfel mit 1 cm Kantenlänge; sein Volumen ist 1 cm³ (sprich: ein Kubikzentimeter).
  • Volumen V: Anzahl der Einheitswürfel, die den Körper lückenlos und ohne Überlappen füllen.
  • Schichten: ein Würfelgebäude Schicht für Schicht zählen — verdeckte Würfel gehören dazu.
  • Vergleichen: Körper aus gleich vielen Einheitswürfeln haben dasselbe Volumen, auch bei anderer Form.
  • Größere Würfel: 1 dm³ hat 1 dm Kantenlänge, 1 m³ hat 1 m; kleiner ist 1 mm³.

Schätze zuerst, aus wie vielen Würfeln das Gebäude besteht. Lege dann die Schichten mit ▶ nebeneinander und tippe jeden Würfel einmal an (Tastatur: Pfeiltasten wählen, Enter markiert).

Würfel Schicht für Schicht

Mit ▶ werden die Schichten nebeneinandergelegt. Pfeiltasten wählen einen Würfel, Enter oder Leertaste markiert ihn als gezählt.

Halte fest: Das Volumen ist die Anzahl aller Einheitswürfel — auch der verdeckten. Bei 1 dm Kantenlänge zählt jeder Würfel 1 dm³, also 1 Liter.

Merke

Volumen V: Anzahl der Einheitswürfel, die den Körper lückenlos füllen.

Einheitswürfel: Kantenlänge 1 cm → 1 cm³; Kantenlänge 1 dm → 1 dm³; Kantenlänge 1 m → 1 m³.

Gleiches Volumen: gleich viele Einheitswürfel, egal in welcher Form.

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Einheiten umrechnen

Ein Kubikdezimeter ist ein Würfel mit 10 cm Kantenlänge — in ihn passen 10 Schichten mit je 10 · 10 Zentimeterwürfeln.

  • Volumeneinheiten: mm³ → cm³ → dm³ → m³, die Umrechnungszahl ist jeweils 1000.
  • Liter: für Flüssigkeiten: \(1\,\text{l}=1\,\text{dm}^3\) und \(1\,\text{ml}=1\,\text{cm}^3\); außerdem \(1\,\text{hl}=100\,\text{l}\).
  • Umrechnen: in die nächstkleinere Einheit mal 1000, in die nächstgrößere geteilt durch 1000.
  • Komma: rückt beim Umrechnen um drei Stellen je Einheit.
  • Vorstellen: 1 cm³ ≈ Spielwürfel, 1 l ≈ Milchtüte, 1 m³ ≈ Würfel aus Metermaßen als Kanten.

Herleitung:

\(1\,\text{dm}^3=1\,\text{dm}\cdot1\,\text{dm}\cdot1\,\text{dm}\)
1 dm = 10 cm
Start: ein Würfel mit 1 dm Kantenlänge.
\(1\,\text{dm}^3=10\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}\)
ausrechnen
10 Reihen mal 10 Würfel in einer Schicht, 10 Schichten übereinander.
\(1\,\text{dm}^3=1000\,\text{cm}^3\)
Ergebnis
Längen: Umrechnungszahl 10 — Flächen: 100 — Volumen: \(10\cdot10\cdot10=1000\).
Merke

Umrechnungszahl für Volumeneinheiten: 1000: \(1\,\text{m}^3=1000\,\text{dm}^3\), \(1\,\text{dm}^3=1000\,\text{cm}^3\), \(1\,\text{cm}^3=1000\,\text{mm}^3\).

Liter: \(1\,\text{l}=1\,\text{dm}^3=1000\,\text{ml}\), \(1\,\text{ml}=1\,\text{cm}^3\), \(1\,\text{hl}=100\,\text{l}\).

Umrechnen: zur nächstkleineren Einheit mal 1000, zur nächstgrößeren geteilt durch 1000.

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Allgemeine Hinweise

10, 100 oder 1000?

Bei Längen ist die Umrechnungszahl 10, bei Flächen 100 und bei Volumen 1000. Die kleine Hochzahl an der Einheit verrät dir, welche Zahl gilt.

Verdeckte Würfel

In einem Bild sieht man nie alle Würfel eines Gebäudes. Zähle schichtweise von unten nach oben und frage dich, was unter jedem sichtbaren Würfel steckt.

Liter sind Kubikdezimeter

Ein Liter passt genau in einen Würfel mit 10 cm Kante. Deshalb kannst du Liter immer wie dm³ behandeln und Milliliter wie cm³.

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