MINT üben

Quader: Volumen, Oberfläche

Wie viel passt in eine Schachtel — und wie viel Pappe steckt in ihr? Zwei Fragen an denselben Quader, zwei verschiedene Formeln.

1

Volumen berechnen

Einen Quader mit ganzzahligen Kantenlängen kann man lückenlos mit Einheitswürfeln füllen — Reihe für Reihe, Schicht für Schicht.

  • Kantenlängen: Länge \(a\), Breite \(b\) und Höhe \(c\).
  • Grundfläche G: die Bodenfläche; in die unterste Schicht passen \(a\cdot b\) Einheitswürfel.
  • Schichten: \(c\) gleiche Schichten liegen übereinander.
  • Würfel: ein Quader, dessen Kanten alle gleich lang sind.
  • Gleiche Einheit: alle Kanten vorher in dieselbe Einheit umrechnen; cm · cm · cm ergibt cm³.
  • Rückwärts: fehlende Kante = Volumen geteilt durch das Produkt der beiden anderen Kanten.

Herleitung:

\(V=\text{Würfel einer Schicht}\cdot\text{Schichten}\)
eine Schicht: a · b
Start: Die Bodenschicht hat \(b\) Reihen mit je \(a\) Würfeln.
\(V=a\cdot b\cdot\text{Schichten}\)
Schichten: c
Es liegen \(c\) Schichten übereinander.
\(V=a\cdot b\cdot c\)
Ergebnis
Volumen des Quaders — kurz: Grundfläche mal Höhe, \(V=G\cdot c\).
Merke

Volumen: Quader \(V=a\cdot b\cdot c=G\cdot c\) · Würfel \(V=a\cdot a\cdot a\)

Gleiche Einheit: Alle Kanten in derselben Einheit; cm · cm · cm ergibt cm³.

Fehlende Kante: \(c=V:(a\cdot b)\).

2

Oberfläche berechnen

Die Oberfläche O ist die Summe der Flächeninhalte aller Flächen, die einen Körper umhüllen — beim Quader sind es sechs Rechtecke.

  • Paare: gegenüberliegende Flächen sind gleich groß.
  • Drei Sorten: \(a\cdot b\) (Boden, Deckel), \(a\cdot c\) (vorne, hinten), \(b\cdot c\) (links, rechts).
  • Netz: zeigt alle sechs Flächen nebeneinander — der Flächeninhalt des Netzes ist die Oberfläche.
  • Würfel: sechs gleiche Quadrate mit dem Flächeninhalt \(a\cdot a\).
  • Offene Körper: Schachtel ohne Deckel, Aquarium: nur die vorhandenen Flächen addieren.
  • Inhalt oder Hülle: Volumen in cm³ sagt, was hineinpasst; Oberfläche in cm² sagt, wie viel Material man braucht.

Stelle mit den Reglern die Kantenlängen ein und schalte zwischen Körper und Netz um. Gleich große Flächen haben dieselbe Farbe. Suche verschiedene Quader mit 24 cm³ und vergleiche ihre Oberflächen.

Quader einstellen

Halte fest: Quader mit gleichem Volumen können verschieden große Oberflächen haben — je näher am Würfel, desto weniger Pappe.

Herleitung:

\(O=\text{Boden}+\text{Deckel}+\text{vorne}+\text{hinten}+\text{links}+\text{rechts}\)
Paare bilden
Start: alle sechs Flächen des Netzes.
\(O=a\cdot b+a\cdot b+a\cdot c+a\cdot c+b\cdot c+b\cdot c\)
zusammenfassen
Gegenüberliegende Flächen sind gleich groß.
\(O=2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c\)
Ergebnis
Oberfläche des Quaders.
Merke

Oberfläche: Quader \(O=2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c\) · Würfel \(O=6\cdot a\cdot a\)

Einheit: Die Oberfläche ist ein Flächeninhalt: cm², m².

Offene Körper: Nur die vorhandenen Flächen addieren.

3

Allgemeine Hinweise

cm³ oder cm²?

Das Volumen bekommt eine Volumeneinheit, die Oberfläche eine Flächeneinheit. Ein Würfel mit 6 cm Kante hat 216 cm³ und 216 cm² — gleiche Zahl, ganz verschiedene Größen.

Kanten verdoppeln

Verdoppelt man alle drei Kanten, wird das Volumen nicht doppelt, sondern achtmal so groß. Die Oberfläche wird viermal so groß.

Ordentlich aufschreiben

Berechne zuerst die drei verschiedenen Rechtecke und schreibe sie untereinander. Dann verdoppeln und addieren — so geht keine Fläche verloren.

Videos