MINT üben

Körper und Netze

Schuhkarton, Zeltdach oder Dose: Jeder dieser Körper lässt sich aufschneiden und flach auslegen — aber nicht jedes flache Muster faltet sich zu einem Körper.

1

Körper erkennen

Ein Körper ist ein räumliches Gebilde: Er hat Länge, Breite und Höhe und wird ringsum von Flächen begrenzt.

  • Fläche: Begrenzungsfläche des Körpers, eben (flach) oder gekrümmt.
  • Kante: Linie, an der zwei Flächen zusammenstoßen.
  • Ecke: Punkt, an dem mehrere Kanten zusammentreffen.
  • Vieleck: ebene Figur mit geraden Seiten, z. B. Dreieck, Viereck, Sechseck.
  • Prisma: Grund- und Deckfläche sind gleiche, parallel liegende Vielecke; die Seitenflächen sind Rechtecke.
  • Pyramide: Grundfläche ist ein Vieleck; die Seitenflächen sind Dreiecke, die sich in der Spitze treffen.
  • Würfel, Quader: besondere Prismen mit Quadraten bzw. Rechtecken als Flächen.
  • Gekrümmt: Zylinder (Dose), Kegel (Eistüte) und Kugel (Ball) haben gekrümmte Flächen.

Herleitung:

\(\text{Kanten}=\text{unten}+\text{oben}+\text{Seiten}\)
je n
Start: ein Prisma, dessen Grundfläche n Ecken hat. Grund- und Deckfläche haben je n Kanten, dazu kommt an jeder Ecke eine Seitenkante.
\(\text{Kanten}=n+n+n\)
zusammenfassen
Dreimal dieselbe Anzahl.
\(\text{Kanten}=3\cdot n\)
Ergebnis
Ebenso: \(2\cdot n\) Ecken (unten und oben) und \(n+2\) Flächen (n Rechtecke, Grund- und Deckfläche).
Merke

Körper: Flächen begrenzen ihn, zwei Flächen stoßen an einer Kante zusammen, Kanten treffen sich in Ecken.

Prisma (Grundfläche mit n Ecken): \(n+2\) Flächen, \(3\cdot n\) Kanten, \(2\cdot n\) Ecken.

Pyramide (Grundfläche mit n Ecken): \(n+1\) Flächen, \(2\cdot n\) Kanten, \(n+1\) Ecken.

Würfel und Quader: 6 Flächen, 12 Kanten, 8 Ecken.

2

Netze falten

Schneidet man einen Körper an einigen Kanten auf und klappt ihn flach auseinander, entsteht sein Netz.

  • Netz: alle Flächen eines Körpers, zusammenhängend in der Ebene ausgebreitet.
  • Würfelnetz: 6 gleich große Quadrate; es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze.
  • Prismennetz: die Seitenrechtecke als Streifen, Grund- und Deckfläche an gegenüberliegenden Rändern.
  • Pyramidennetz: Grundfläche in der Mitte, an jeder Seite ein Dreieck — wie ein Stern.
  • Prüfen: Kanten, die beim Falten aneinanderstoßen, sind gleich lang; keine zwei Flächen landen übereinander.
  • Gekrümmt: Zylindernetz = Rechteck und zwei Kreise; eine Kugel hat kein Netz.

Wähle ein Netz und tippe, welcher Körper daraus wird. Starte dann das Falten mit ▶. Ziehe waagerecht über die Zeichnung (oder Pfeiltasten), um den Körper von allen Seiten zu sehen.

Welcher Körper entsteht?

Pfeiltasten links und rechts drehen die Ansicht, Enter faltet oder klappt auf.

Halte fest: Ein Netz ist nur dann richtig, wenn beim Falten jede Fläche des Körpers genau einmal bedeckt wird.

Merke

Netz: alle Flächen eines Körpers, zusammenhängend in der Ebene ausgebreitet.

Würfel: 11 verschiedene Netze aus 6 Quadraten. Gegenüberliegende Flächen liegen im Netz nie direkt nebeneinander.

Richtiges Netz: Aneinanderstoßende Kanten sind gleich lang, und beim Falten wird jede Fläche genau einmal bedeckt.

Kugel: hat kein Netz.

3

Allgemeine Hinweise

Verdeckte Kanten zählen

Im Schrägbild sind nicht alle Kanten zu sehen. Zähle deshalb systematisch: erst die Grundfläche, dann die Deckfläche oder Spitze, dann die Seitenkanten.

Gegenüber liegt nie daneben

Flächen, die am Würfel gegenüberliegen, berühren sich im Netz nie. Beim Spielwürfel ergeben gegenüberliegende Augenzahlen zusammen 7.

Im Kopf falten

Lege in Gedanken eine Fläche als Boden fest und klappe die anderen nacheinander hoch. Kanten, die dabei zusammenstoßen, markierst du in derselben Farbe.

Videos