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Brüche multiplizieren

Die Hälfte von einer Dreiviertel-Pizza ist weniger als vorher — beim Malnehmen mit Brüchen nimmst du einen Teil von einem Teil.

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Bruch mal Zahl

Einen Bruch mit einer natürlichen Zahl malnehmen heißt, ihn mehrmals zu addieren. Dabei ändert sich nur der Zähler.

  • Mehrmals addieren:\(\tfrac25\cdot3=\tfrac25+\tfrac25+\tfrac25=\tfrac65\).
  • Bruch mal Zahl:Nur der Zähler wird mit der Zahl multipliziert, der Nenner bleibt: \(\tfrac25\cdot3=\tfrac{2\cdot3}{5}\).
  • Reihenfolge egal:\(3\cdot\tfrac25=\tfrac25\cdot3\).
  • Erst kürzen:\(\tfrac56\cdot4=\tfrac{5\cdot2}{3}=\tfrac{10}{3}=3\tfrac13\) — die 4 und die 6 mit 2 gekürzt.
  • „von“ heißt „mal“:\(\tfrac34\) von \(20\) € ist \(\tfrac34\cdot20\) € \(=15\) €.
Merke

Bruch mal Zahl: \(\dfrac ab\cdot n=\dfrac{a\cdot n}{b}\)

Nenner: Er bleibt unverändert, nur der Zähler wird multipliziert.

Von heißt mal: Ein Bruchteil von einer Größe ist ein Produkt.

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Ein Teil von einem Teil

Beim Malnehmen mit einem Bruch nimmst du einen Teil von einem Teil: Die Hälfte von \(\tfrac34\) ist \(\tfrac12\cdot\tfrac34\). Im Rechteck-Modell siehst du, was das bedeutet.

Stelle mit den Reglern zwei Brüche ein. Der erste färbt Spalten blau, der zweite Zeilen orange. Zähle die violetten Kästchen, die doppelt gefärbt sind.

Rechteck-Modell

Die Nenner geben an, in wie viele Kästchen das Ganze zerfällt (\(b\cdot d\)), die Zähler, wie viele davon doppelt gefärbt sind (\(a\cdot c\)).

  • Bruch mal Bruch:Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: \(\tfrac12\cdot\tfrac34=\tfrac{1\cdot3}{2\cdot4}=\tfrac38\).
  • Vorher kürzen:Kürze vor dem Ausrechnen, auch über Kreuz: \(\tfrac49\cdot\tfrac38=\tfrac{1\cdot1}{3\cdot2}=\tfrac16\) — 4 mit 8 und 3 mit 9 gekürzt.
  • Gemischte Zahlen:Zuerst in unechte Brüche umwandeln: \(1\tfrac12\cdot\tfrac25=\tfrac32\cdot\tfrac25\).
  • Kleiner oder größer:Mal einem echten Bruch wird das Ergebnis kleiner, mal einem unechten Bruch größer.
Merke

Bruch mal Bruch: \(\dfrac ab\cdot\dfrac cd=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}\)

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Gemischte Zahlen und Kürzen

Mit gemischten Zahlen und über Kreuz kürzen wird das Rechnen kurz und übersichtlich.

  • Umwandeln:Gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche umwandeln.
  • Kürzen:Vor dem Ausrechnen kürzen, auch über Kreuz.
Beispiel

\(2\tfrac14\cdot\tfrac{8}{15}\)

Umwandeln: \(2\tfrac14=\tfrac94\), also \(\tfrac94\cdot\tfrac{8}{15}\).

Über Kreuz kürzen: 9 und 15 durch 3, 8 und 4 durch 4: \(\tfrac{3\cdot2}{1\cdot5}\).

Ausrechnen: \(\tfrac65=1\tfrac15\).

Merke

Bruch mal Bruch: \(\dfrac ab\cdot\dfrac cd=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}\)

Kürzen: Am besten vor dem Ausrechnen kürzen, auch über Kreuz.

Gemischte Zahlen: Zuerst in unechte Brüche umwandeln.

Ergebnis: Mal einem echten Bruch wird das Ergebnis kleiner.

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Allgemeine Hinweise

Kein gemeinsamer Nenner

Beim Malnehmen musst du die Brüche nicht gleichnamig machen. Das brauchst du nur bei Plus und Minus.

Zahl nur mal Zähler

Bei \(\tfrac25\cdot3\) wird nur der Zähler mit 3 multipliziert. Wer auch den Nenner malnimmt, erhält \(\tfrac{6}{15}=\tfrac25\) — also gar nichts Neues.

Erst kürzen, dann rechnen

Kürze schon im Bruchstrich, auch über Kreuz: \(\tfrac{5}{6}\cdot\tfrac{9}{10}=\tfrac{1\cdot3}{2\cdot2}=\tfrac34\). Kleine Zahlen sind leichter.

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Zum Nachschauen