Wie oft passt es hinein?
Teilen heißt: in gleiche Teile zerlegen oder fragen, wie oft eine Zahl in eine andere hineinpasst. Beides gelingt auch mit Brüchen.
- Dividend und Divisor:In \(\tfrac34:2\) ist \(\tfrac34\) der Dividend (die Zahl, die geteilt wird) und \(2\) der Divisor (auch Teiler). Das Ergebnis heißt Quotient.
- Durch eine Zahl:\(\tfrac34:2=\tfrac{3}{4\cdot2}=\tfrac38\) — der Nenner wird mit der Zahl multipliziert, jedes Teil wird halbiert.
- Zähler teilbar:\(\tfrac69:3=\tfrac29\) — geht der Zähler glatt durch die Zahl, darfst du auch den Zähler teilen.
- Wie oft passt hinein?\(3:\tfrac12=6\) — in 3 Pizzen stecken 6 halbe Pizzen.
- Größer als vorher:Ist der Divisor ein echter Bruch (kleiner als 1), passt er mehr als einmal hinein. Der Quotient wird größer als der Dividend.
- Kehrwert:Zähler und Nenner tauschen: \(\tfrac25\) wird zu \(\tfrac52\). Eine ganze Zahl \(4=\tfrac41\) hat den Kehrwert \(\tfrac14\).
- Mal Kehrwert:Ein Bruch mal seinem Kehrwert ergibt immer \(1\): \(\tfrac25\cdot\tfrac52=\tfrac{10}{10}=1\).
Stelle mit den Reglern die Länge der blauen Strecke und die Länge eines grünen Stücks ein. Lege mit „Stück anlegen“ ein Stück nach dem anderen an, bis die Strecke voll ist – das letzte Stück passt vielleicht nur zum Teil hinein. ▶ führt es an einem Beispiel vor.
Der Quotient zählt, wie oft der Divisor in den Dividenden passt – auch Teile eines Stücks zählen mit. Ist der Divisor kleiner als 1, passt er mehr als einmal hinein.
Bruch durch Zahl: \(\dfrac ab:n=\dfrac{a}{b\cdot n}\)
Kehrwert: \(\dfrac ab\) hat den Kehrwert \(\dfrac ba\), \(n\) hat den Kehrwert \(\dfrac1n\).
Quotient: Er gibt an, wie oft der Divisor in den Dividenden passt.
Echter Bruch als Divisor: Der Quotient wird größer als der Dividend.
Teilen wird zum Malnehmen
Durch einen Bruch teilst du, indem du mit seinem Kehrwert malnimmst. Warum das stimmt, zeigt die Umformung.
Herleitung:Regel: Durch einen Bruch teilt man, indem man mit seinem Kehrwert malnimmt.
Bruch durch Bruch rechnen
Mit der Regel rechnest du jede Aufgabe in zwei Schritten: Divisor umdrehen, dann multiplizieren und kürzen.
- Bruch durch Bruch:\(\tfrac34:\tfrac25=\tfrac34\cdot\tfrac52=\tfrac{15}{8}=1\tfrac78\) — nur der Divisor wird umgedreht.
- Zahl durch Bruch:\(4:\tfrac23=\tfrac41\cdot\tfrac32=\tfrac{12}{2}=6\).
- Erst umdrehen, dann kürzen:\(\tfrac49:\tfrac23=\tfrac49\cdot\tfrac32=\tfrac{2\cdot1}{3\cdot1}=\tfrac23\) — über Kreuz gekürzt wird erst nach dem Umdrehen.
- Gemischte Zahlen:vorher in Brüche umwandeln: \(2\tfrac12:\tfrac56=\tfrac52\cdot\tfrac65=3\).
Ein Geschenkband ist \(3\tfrac34\) m lang. Wie viele Stücke von \(\tfrac58\) m Länge kannst du davon abschneiden?
\(3\tfrac34:\tfrac58=\tfrac{15}{4}:\tfrac58=\tfrac{15}{4}\cdot\tfrac85=\tfrac{3\cdot2}{1\cdot1}=6\)
Du kannst genau 6 Stücke abschneiden.
Bruch durch Bruch: \(\dfrac ab:\dfrac cd=\dfrac ab\cdot\dfrac dc=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}\)
Regel: Durch einen Bruch teilt man, indem man mit seinem Kehrwert malnimmt.
Gemischte Zahlen: Vor dem Teilen in Brüche umwandeln.
Kürzen: Erst den Divisor umdrehen, dann kürzen.
Allgemeine Hinweise
Nur den Divisor umdrehen
Bei \(\tfrac34:\tfrac25\) wird nur \(\tfrac25\) zum Kehrwert \(\tfrac52\). Der Dividend \(\tfrac34\) bleibt, wie er ist.
Gemischte Zahlen umwandeln
\(2\tfrac13\) hat nicht den Kehrwert \(2\tfrac31\). Wandle erst um: \(2\tfrac13=\tfrac73\), der Kehrwert ist \(\tfrac37\).
Ergebnis überschlagen
Teilst du durch einen echten Bruch, muss das Ergebnis größer werden – sonst hast du falsch umgedreht. Durch eine Zahl größer als 1 wird es kleiner: \(\tfrac{9}{10}:3=\tfrac{3}{10}\).