MINT üben

Abbrechend und periodisch

Warum hört \(3:8\) nach drei Stellen auf, während \(1:3\) für immer weiterläuft?

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Der Bruchstrich ist ein Geteilt

Jeder Bruch ist eine Division: Zähler geteilt durch Nenner.

  • Bruchstrich:\(\tfrac38\) bedeutet \(3:8\).
  • Komma setzen:\(3:8\) ergibt 0 Ganze. Setze das Komma und rechne mit Zehnteln weiter: 3 Ganze sind 30 Zehntel.
  • Null anhängen:An jeden Rest hängst du eine 0 an und teilst weiter.
  • Abbrechend:Bleibt irgendwann der Rest 0, ist die Rechnung fertig.
Herleitung:
\(3:8=0\ \text{Rest}\ 3\)
Ganze
Keine ganze 8 passt in 3 — also 0 Ganze, dann das Komma.
\(30:8=3\ \text{Rest}\ 6\)
Zehntel
Rest 3 mit angehängter 0: 30 Zehntel. Die 3 wird die erste Stelle nach dem Komma.
\(60:8=7\ \text{Rest}\ 4\)
Hundertstel
Rest 6 mit angehängter 0: 60 Hundertstel.
\(40:8=5\ \text{Rest}\ 0\)
Tausendstel
Rest 0 — die Division bricht ab.
\(\dfrac38=3:8=0{,}375\)
Ergebnis
Die Ziffern 3, 7, 5 stehen der Reihe nach hinter dem Komma.
Merke

Bruch als Division: \(\dfrac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}=\text{Zähler}:\text{Nenner}\)

Umwandeln: Jeder Bruch ist eine Division: \(\tfrac38=3:8=0{,}375\).

Verfahren: Komma setzen, an jeden Rest eine \(0\) anhängen und weiterteilen.

Abbrechend: Bleibt irgendwann der Rest \(0\), ist die Rechnung fertig.

2

Wenn Reste wiederkommen

Taucht ein Rest zum zweiten Mal auf, wiederholen sich ab dort alle Ziffern — ohne Ende.

  • Periode:der Ziffernblock, der sich immer wiederholt. Man schreibt einen Strich darüber: \(\tfrac13=0{,}333\ldots=0{,}\overline{3}\).
  • Rein periodisch:Die Periode beginnt direkt hinter dem Komma: \(\tfrac{2}{11}=0{,}\overline{18}\).
  • Gemischt periodisch:Erst kommen Ziffern ohne Wiederholung, dann die Periode: \(\tfrac56=0{,}8\overline{3}\).
  • Warum?Beim Teilen durch 6 gibt es nur die Reste 0 bis 5. Nach wenigen Schritten muss ein Rest wiederkommen — oder der Rest ist 0.
  • Vorher erkennen:Bruch vollständig kürzen, Nenner in Primfaktoren zerlegen: \(20=2\cdot2\cdot5\) → abbrechend, \(12=2\cdot2\cdot3\) → periodisch.
Merke

Abbrechend oder periodisch: Ein vollständig gekürzter Bruch ergibt genau dann einen abbrechenden Dezimalbruch, wenn sein Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 hat. Sonst ist der Dezimalbruch periodisch.

Periode: Der Ziffernblock, der sich immer wiederholt: \(\tfrac13=0{,}\overline{3}\).

Rein und gemischt: Rein periodisch: \(\tfrac{2}{11}=0{,}\overline{18}\); gemischt periodisch: \(\tfrac56=0{,}8\overline{3}\).

Warum: Beim Teilen durch \(n\) gibt es nur \(n\) mögliche Reste, also kommt ein Rest wieder oder er ist \(0\).

Stelle Zähler und Nenner ein und rechne die Division Schritt für Schritt — mit „▶ Schritt“ oder „Abspielen“. Beobachte die Reste: Rechts siehst du, welche Reste beim Teilen überhaupt möglich sind.

Reste-Detektor

Halte fest: Beim Teilen durch \(n\) gibt es nur \(n\) mögliche Reste. Deshalb endet jede Division mit Rest 0 — oder ein Rest kommt wieder und die Ziffern wiederholen sich.

3

Allgemeine Hinweise

Erst kürzen, dann den Nenner prüfen

\(\tfrac{3}{15}\) sieht wegen der 3 im Nenner periodisch aus. Gekürzt ist es aber \(\tfrac15=0{,}2\) — abbrechend.

Den Strich richtig setzen

Der Strich steht nur über den Ziffern, die sich wiederholen: \(0{,}1\overline{6}=0{,}1666\ldots\), aber \(0{,}\overline{16}=0{,}1616\ldots\)

Nicht nach Gefühl aufhören

Rechne so lange, bis der Rest 0 ist oder ein Rest wiederkommt. Erst dann weißt du, ob der Dezimalbruch abbricht und wie lang die Periode ist.

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