Abweichungen quadrieren
Die Abweichungen vom Mittelwert heben sich in der Summe auf. Deshalb werden sie quadriert.
- Fahrzeiten:28 · 33 · 37 · 30 · 35 · 53 · 38 · 32 · 29 · 36 (in min), \(\bar x = 35{,}1\,\mathrm{min}\).
- Abweichung:\(x_i - \bar x\); die Summe aller Abweichungen ist immer 0.
- Quadrieren:\((x_i - \bar x)^2 \ge 0\), die Vorzeichen löschen sich nicht mehr aus.
- Anschaulich:Flächeninhalt eines Quadrats mit der Kantenlänge \(|x_i - \bar x|\).
- Ausreißer:53 min liegt etwa 2,5-mal so weit weg wie 28 min, sein Quadrat ist über 6-mal so groß.
| Wert \(x_i\) in min | Abweichung \(x_i - \bar x\) in min | Quadrat \((x_i - \bar x)^2\) in min\(^2\) |
|---|---|---|
| 28 | -7,1 | 50,41 |
| 33 | -2,1 | 4,41 |
| 37 | 1,9 | 3,61 |
| 30 | -5,1 | 26,01 |
| 35 | -0,1 | 0,01 |
| 53 | 17,9 | 320,41 |
| 38 | 2,9 | 8,41 |
| 32 | -3,1 | 9,61 |
| 29 | -6,1 | 37,21 |
| 36 | 0,9 | 0,81 |
| Summe | 0 | 460,9 |
Abweichung: \(x_i - \bar x\); die Summe aller Abweichungen ist immer 0.
Quadrieren: \((x_i - \bar x)^2 \ge 0\); die Vorzeichen löschen sich nicht mehr aus.
Ausreißer: Große Abweichungen zählen im Quadrat überproportional stark.
Die empirische Varianz
Die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung vom arithmetischen Mittel.
- 1. Mittelwert:\(\bar x = \dfrac{351\,\mathrm{min}}{10} = 35{,}1\,\mathrm{min}\).
- 2. Abweichungen:zu jedem Wert \(x_i - \bar x\) bilden.
- 3. Quadrieren, addieren:Summe der Quadrate \(460{,}9\,\mathrm{min}^2\).
- 4. Durch \(n\) teilen:\(\bar s^{\,2} = \dfrac{460{,}9\,\mathrm{min}^2}{10} = 46{,}09\,\mathrm{min}^2\).
Empirische Varianz: Die mittlere quadratische Abweichung vom arithmetischen Mittel.
\(\bar s^{\,2} = \dfrac{(x_1 - \bar x)^2 + (x_2 - \bar x)^2 + \dots + (x_n - \bar x)^2}{n}\)
Einheit: Sie wird mitquadriert, z. B. \(\mathrm{min}^2\).
Streuung: Liegen die Werte dicht zusammen, geht die Varianz gegen 0; ein weit entfernter Wert vervielfacht sie.
Verschiebe die fünf Werte. Über jedem Wert steht das Quadrat seiner Abweichung; Quadratsumme und Varianz laufen mit. Ein Wert weit draußen lässt sein Quadrat sehr schnell wachsen, ein Wert dicht am Mittel trägt kaum etwas bei. Beim Verschieben wandert außerdem der Mittelwert mit, sodass sich alle übrigen Quadrate ebenfalls ändern.
MesswertQuadrat der Abweichungarithmetisches Mittel
Bedienung mit der Maus: einen Punkt anfassen und waagerecht verschieben. Bedienung mit der Tastatur: mit Tab in die Zeichnung springen, mit ← und → den ausgewählten Punkt wechseln, mit ↑ und ↓ seinen Wert um 1 vergrößern oder verkleinern und mit Enter den nächsten Rechenschritt einblenden.
Das Applet wird geladen.
Halte fest: Liegen die Punkte dicht zusammen, geht die Varianz gegen 0. Ein einziger weit entfernter Punkt vervielfacht sie.
Varianz aus Häufigkeiten
Bei einer Häufigkeitstabelle gewichtest du jede quadrierte Abweichung mit der Häufigkeit ihres Wertes.
- Absolute Häufigkeiten:\(\bar s^{\,2} = \dfrac{(x_1 - \bar x)^2 \cdot a_1 + \dots + (x_m - \bar x)^2 \cdot a_m}{a_1 + \dots + a_m}\).
- Relative Häufigkeiten:keine Division, denn die \(h(x_i)\) ergeben zusammen 1.
- Beispiel:Taschengeld mit \(\bar x = 37{,}55\,\mathrm{Euro}\) ergibt \(\bar s^{\,2} = 38{,}7475\,\mathrm{Euro}^2\).
- Großer Beitrag:große Abweichung und große Häufigkeit, hier 30 € mit 28 %.
- Einheit:wird mitquadriert: \([\bar s^{\,2}] = \mathrm{min}^2\) bzw. \(\mathrm{Euro}^2\).
- Ausblick:die Wurzel \(\bar s = \sqrt{\bar s^{\,2}}\) hat wieder die Einheit des Merkmals, z. B. \(\bar s \approx 6{,}789\,\mathrm{min}\).
| Taschengeld in € | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| relative Häufigkeit | 28 % | 21 % | 32 % | 10 % | 9 % |
Relative Häufigkeiten: Jede quadrierte Abweichung wird mit der relativen Häufigkeit ihres Wertes gewichtet; es wird nicht geteilt.
\(\bar s^{\,2} = (x_1 - \bar x)^2 \cdot h(x_1) + \dots + (x_m - \bar x)^2 \cdot h(x_m)\)
Absolute Häufigkeiten: Statt mit \(h(x_i)\) mit \(a_i\) gewichten und durch \(a_1 + \dots + a_m\) teilen.
Einheit: Die Einheit wird mitquadriert; die Wurzel \(\bar s = \sqrt{\bar s^{\,2}}\) hat wieder die Einheit des Merkmals.
Allgemeine Hinweise
Durch \(n\) teilen
Die empirische Varianz teilt durch den Stichprobenumfang \(n\). Bei absoluten Häufigkeiten ist das \(a_1 + \dots + a_m\).
Quadrierte Einheit
Die Varianz hat die Einheit \(\mathrm{min}^2\) oder \(\mathrm{Euro}^2\). Vergleiche sie nicht direkt mit den Messwerten.
Kontrolle über die Summe
Schreibe Wert, Abweichung und Quadrat in Spalten. Die Abweichungsspalte muss zusammen 0 ergeben.
Videos
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