Der Mittelwert reicht nicht
Julias Mutter hat zehn Fahrzeiten zur Arbeit notiert. Ein Tag fällt mit 53 min deutlich aus dem Rahmen.
- Fahrzeiten:28 · 33 · 37 · 30 · 35 · 53 · 38 · 32 · 29 · 36 (in min).
- Mittelwert:\(\bar{x} = \dfrac{351\,\mathrm{min}}{10} = 35{,}1\,\mathrm{min}\).
- Ausreißer:ein Wert, der weit von den übrigen entfernt liegt, hier 53 min.
- Ohne Ausreißer:\(\bar{x} \approx 33{,}11\,\mathrm{min}\), also nur etwa 2 min weniger.
- Spannweite:fällt dagegen von 25 min auf 10 min.
| Kennzahl | alle 10 Werte | ohne den Ausreißer |
|---|---|---|
| Stichprobenumfang n | 10 | 9 |
| arithmetisches Mittel in min | 35,1 | 33,11 |
| Spannweite in min | 25 | 10 |
| Standardabweichung in min | 6,789 | 3,414 |
Mittelwert: Er beschreibt, wo die Werte liegen, nicht, wie weit sie streuen.
Ausreißer: Ein Wert, der weit von den übrigen entfernt liegt.
Wirkung: Ein Ausreißer verändert den Mittelwert nur wenig, die Spannweite stark.
Die Spannweite nutzt nur zwei Werte
Für die Spannweite ziehst du vom größten Wert den kleinsten ab. Was dazwischen liegt, bleibt unberücksichtigt.
- Formel:\(\mathrm{Sw} = x_{\max} - x_{\min}\), Einheit wie das Merkmal.
- Kakao:zwei Sorten mit je 500 g Sollinhalt, beide mit Spannweite 18 g.
- Sorte A:die meisten Packungen liegen zwischen 495 g und 504 g.
- Sorte B:die Werte streuen breiter; Standardabweichung 3,91 g statt 3,54 g.
Spannweite: Größter Wert minus kleinster Wert, in der Einheit des Merkmals.
\(\mathrm{Sw}=x_{\max}-x_{\min}\)
Grenze: Sie nutzt nur zwei Werte; gleiche Spannweite heißt nicht gleiche Streuung.
Verschiebe die Punkte der beiden Datensätze. Beobachte, wie sich der Balken für die mittlere Entfernung vom Mittelwert ändert. Zu Beginn stimmen Mittelwert und Spannweite beider Datensätze überein, obwohl die Punkte offensichtlich verschieden verteilt sind. Über die Schaltfläche lassen sich weitere solche Paare laden.
Datensatz ADatensatz BMittelwertSpannweite
Bedienung mit der Maus: einen Punkt anfassen und waagerecht verschieben. Bedienung mit der Tastatur: mit Tab in die Zeichnung springen, mit ← und → den ausgewählten Punkt wechseln, mit ↑ und ↓ seinen Wert um 1 vergrößern oder verkleinern und mit Enter das nächste Beispielpaar laden.
Die beiden Datensätze werden geladen.
Halte fest: Zwischen kleinstem und größtem Wert kannst du alles verschieben, ohne die Spannweite zu ändern. Die mittlere Entfernung vom Mittelwert ändert sich dagegen deutlich.
Was ein Streuungsmaß braucht
Ein gutes Streuungsmaß berücksichtigt jeden Wert und misst seinen Abstand zum Mittelwert.
- Abweichung:\(x_i - \bar{x}\), der Abstand eines Wertes vom Mittelwert.
- Vorzeichen:unterhalb des Mittelwerts negativ, oberhalb positiv.
- Beispiel:\(28\,\mathrm{min} - 35{,}1\,\mathrm{min} = -7{,}1\,\mathrm{min}\) und \(53\,\mathrm{min} - 35{,}1\,\mathrm{min} = 17{,}9\,\mathrm{min}\).
- Standardabweichung:\(\bar{s}\) fasst alle Abweichungen zu einer Zahl in der Einheit des Merkmals zusammen.
Abweichung: \(x_i-\bar x\) ist der Abstand eines Wertes vom Mittelwert.
Vorzeichen: Unterhalb des Mittelwerts negativ, oberhalb positiv.
Streuungsmaß: Ein gutes Streuungsmaß berücksichtigt alle Abweichungen.
Standardabweichung: \(\bar s\) fasst alle Abweichungen zu einer Zahl in der Einheit des Merkmals zusammen.
Allgemeine Hinweise
Ein Wert bestimmt Sw
Ein einzelner Extremwert legt die Spannweite allein fest. Sieh dir deshalb immer auch die übrigen Werte an.
Nicht einfach addieren
Die Summe aller Abweichungen \(x_i - \bar{x}\) ist immer null. So entsteht noch kein Streuungsmaß.
Einheit mitschreiben
Spannweite und Standardabweichung haben die Einheit des Merkmals. Schreibe sie immer dazu.
Videos
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