Die Wurzel aus der Varianz
Die Varianz hat eine quadrierte Einheit. Ziehst du die Wurzel, erhältst du wieder die Einheit der Messwerte.
- Varianz:\(\bar s^{\,2}\), Einheit quadriert, z. B. \(\mathrm{min}^2\).
- Standardabweichung:\(\bar s = \sqrt{\bar s^{\,2}}\), Einheit wie das Merkmal.
- Teilen:unter der Wurzel durch \(n\), nicht durch \(n-1\).
- Beispiel:Fahrzeiten mit \(\bar s^{\,2} = 46{,}09\,\mathrm{min}^2\) ergeben \(\bar s \approx 6{,}789\,\mathrm{min}\).
Standardabweichung: Die Wurzel aus der Varianz \(\bar s^{\,2}\); sie hat wieder die Einheit der Messwerte.
\(\bar s=\sqrt{\dfrac{(x_1-\bar x)^2+(x_2-\bar x)^2+\dots+(x_n-\bar x)^2}{n}}\)
Teilen: Unter der Wurzel durch \(n\), nicht durch \(n-1\).
Varianz: Ihre Einheit ist quadriert.
Das Band um den Mittelwert
\(\bar s\) beschreibt den typischen Abstand eines Wertes vom Mittelwert.
- Band:von \(\bar x - \bar s\) bis \(\bar x + \bar s\).
- Fahrzeiten:von rund \(28{,}3\,\mathrm{min}\) bis \(41{,}9\,\mathrm{min}\); 8 der 10 Werte liegen darin.
- Deutung:kleines \(\bar s\): Werte dicht am Mittelwert; großes \(\bar s\): weit gestreut.
- Ausreißer:ohne die 53 min fällt \(\bar s\) von \(6{,}789\,\mathrm{min}\) auf \(3{,}414\,\mathrm{min}\), der Mittelwert nur um etwa 2 min.
| Kennzahl | alle zehn Werte | ohne den Wert 53 min |
|---|---|---|
| Stichprobenumfang \(n\) | 10 | 9 |
| arithmetisches Mittel \(\bar x\) | 35,1 min | 33,11 min |
| Spannweite \(Sw\) | 25 min | 10 min |
| Standardabweichung \(\bar s\) | 6,789 min | 3,414 min |
Band: Von \(\bar x-\bar s\) bis \(\bar x+\bar s\); \(\bar s\) beschreibt den typischen Abstand eines Wertes vom Mittelwert.
Deutung: Kleines \(\bar s\): Werte dicht am Mittelwert; großes \(\bar s\): weit gestreut.
Ausreißer: Ein einziger weit entfernter Wert vergrößert \(\bar s\) stark.
Verschiebe Werte, füge neue hinzu oder entferne welche. Das Band von \(\bar x - \bar s\) bis \(\bar x + \bar s\) passt sich sofort an. Wer die Werte dicht zusammenschiebt, sieht das Band schmal werden; ein einzelner weit hinausgezogener Wert verbreitert es dagegen erheblich und liegt am Ende selbst außerhalb.
Wert im BandWert außerhalbarithmetisches MittelBand von \(\bar x - \bar s\) bis \(\bar x + \bar s\)
Bedienung mit der Maus: einen Punkt anfassen und waagerecht verschieben; ein Klick auf eine freie Stelle des Zahlenstrahls setzt dort einen neuen Wert. Bedienung mit der Tastatur: mit Tab in die Zeichnung springen, mit ← und → den ausgewählten Punkt wechseln, mit ↑ und ↓ seinen Wert um 1 vergrößern oder verkleinern, mit Enter einen weiteren Wert hinzufügen und mit Entf den ausgewählten Wert entfernen.
Das Applet wird geladen.
Halte fest: Das Band beschreibt den typischen, nicht den größten Abstand. Ein einziger weit entfernter Wert vergrößert \(\bar s\) stark.
Aus Häufigkeiten berechnen
Bei einer Häufigkeitstabelle wird jede quadrierte Abweichung mit ihrer Häufigkeit gewichtet.
- Absolute Häufigkeiten:\(\bar s = \sqrt{\dfrac{(x_1 - \bar x)^2 \cdot a_1 + \dots + (x_m - \bar x)^2 \cdot a_m}{a_1 + \dots + a_m}}\).
- Relative Häufigkeiten:kein Bruch unter der Wurzel, denn die \(h(x_i)\) ergeben zusammen 1.
- Beispiel:Wartezeit an der Kinokasse: \(\bar x = 3{,}51\,\mathrm{min}\), \(\bar s^{\,2} = 3{,}7699\,\mathrm{min}^2\), \(\bar s \approx 1{,}94\,\mathrm{min}\).
- Beiträge:die Ränder 0 min und 6 min tragen am meisten bei, 3 min kaum.
| Wartezeit in min | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| relative Häufigkeit | 11 % | 5 % | 14 % | 22 % | 9 % | 18 % | 21 % |
Mit relativen Häufigkeiten: Jede quadrierte Abweichung wird mit ihrer Häufigkeit gewichtet.
\(\bar s=\sqrt{(x_1-\bar x)^2\cdot h(x_1)+\dots+(x_m-\bar x)^2\cdot h(x_m)}\)
Mit absoluten Häufigkeiten: Die Summe unter der Wurzel wird durch \(a_1+\dots+a_m\) geteilt.
Kein Bruch: Bei relativen Häufigkeiten fehlt der Bruch, denn die \(h(x_i)\) ergeben zusammen 1.
Allgemeine Hinweise
Wurzel nicht vergessen
Ohne Wurzel hast du nur die Varianz berechnet. Du erkennst das an der quadrierten Einheit.
\(\sigma_x\) statt \(s_x\)
Der GTR zeigt zwei Werte an. Die empirische Standardabweichung mit Division durch \(n\) ist \(\sigma_x\).
Prozent als Dezimalzahl
Setze 22 % als 0,22 ein. Alle relativen Häufigkeiten ergeben zusammen 1.
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