Der Durchschnitt
Das arithmetische Mittel ersetzt eine ganze Messreihe durch eine einzige Zahl. Im Alltag heißt es Durchschnitt.
- Schreibweise:\(\bar x\), gesprochen „x quer“.
- Rechnung:alle Messwerte addieren, dann durch ihre Anzahl \(n\) teilen.
- Einheit:wie die Messwerte, bei Temperaturen \([\bar x] = {}^{\circ}\mathrm{C}\).
- Kein Messwert:\(\bar x\) muss in der Reihe nicht vorkommen.
Arithmetisches Mittel: Es ersetzt eine Messreihe durch eine Zahl; im Alltag heißt es Durchschnitt.
\(\bar x=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\)
Einheit: Sie ist dieselbe wie die der Messwerte.
Kein Messwert: \(\bar x\) muss in der Reihe nicht vorkommen.
Die Temperaturmessreihe
Im Unterricht wurden 31 Temperaturen gemessen. Du bestimmst ihren Durchschnitt.
| Messreihe | 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | 7. | 8. | 9. | 10. | 11. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Zeile 1 | 18 | 20 | 13 | 15 | 19 | 24 | 24 | 24 | 25 | 24 | 26 |
| Zeile 2 | 24 | 25 | 22 | 13 | 12 | 13 | 15 | 18 | 21 | 17 | |
| Zeile 3 | 23 | 27 | 21 | 14 | 14 | 20 | 22 | 23 | 21 | 26 |
- Anzahl:\(11 + 10 + 10 = 31\), also \(n = 31\).
- Summe:alle 31 Werte ergeben \(623\,{}^{\circ}\mathrm{C}\).
- Mittel:\(\bar x = \frac{623\,{}^{\circ}\mathrm{C}}{31} \approx 20{,}1\,{}^{\circ}\mathrm{C}\).
- Deutung:Säulen über der Linie gleichen die Säulen darunter genau aus.
Vorgehen: Alle Messwerte addieren und durch ihre Anzahl \(n\) teilen.
Beispiel: Temperaturreihe: \(n=31\), Summe \(623\,{}^{\circ}\mathrm{C}\), also \(\bar x\approx20{,}1\,{}^{\circ}\mathrm{C}\).
Deutung: Die Abweichungen oberhalb und unterhalb des Mittelwerts gleichen sich aus.
Mittel aus der Häufigkeitstabelle
Kommt ein Wert mehrfach vor, multiplizierst du ihn mit seiner Häufigkeit. Das spart viele Additionen.
| Temperatur x in °C | H(x) | x · H(x) |
|---|---|---|
| 12 | 1 | 12 |
| 13 | 3 | 39 |
| 14 | 2 | 28 |
| 15 | 2 | 30 |
| 16 | 0 | 0 |
| 17 | 1 | 17 |
| 18 | 2 | 36 |
| 19 | 1 | 19 |
| 20 | 2 | 40 |
| 21 | 3 | 63 |
| 22 | 2 | 44 |
| 23 | 2 | 46 |
| 24 | 5 | 120 |
| 25 | 2 | 50 |
| 26 | 2 | 52 |
| 27 | 1 | 27 |
| Summe | 31 | 623 |
- Produkt:für jeden Wert \(x \cdot H(x)\), z. B. \(24\,{}^{\circ}\mathrm{C} \cdot 5 = 120\,{}^{\circ}\mathrm{C}\).
- Zähler:Summe aller Produkte, hier \(623\,{}^{\circ}\mathrm{C}\).
- Nenner:\(n = H(x_1) + H(x_2) + \dots = 31\).
- Ergebnis:wieder \(\bar x \approx 20{,}1\,{}^{\circ}\mathrm{C}\) – nur kürzer aufgeschrieben.
Mittel mit Häufigkeiten: Jeden Wert mit seiner Häufigkeit multiplizieren, alle Produkte addieren und durch \(n\) teilen.
\(\bar x=\dfrac{x_1\cdot H(x_1)+x_2\cdot H(x_2)+\dots}{n}\)
Nenner: \(n=H(x_1)+H(x_2)+\dots\)
Deutung: Als Balken mit Gewichten ist er genau bei \(\bar x\) im Gleichgewicht.
Stell dir die Werte als Gewichte auf einem Balken vor. Er ist genau bei \(\bar x\) im Gleichgewicht.
In den drei Abschnitten stand die Messreihe jeweils fest, und das arithmetische Mittel wurde daraus berechnet. Im folgenden Applet lässt sich die Messreihe verändern: Die Werte liegen als Gewichte auf einem Zahlenstrahl und können verschoben, hinzugefügt und entfernt werden. Der Zahlenstrahl ist als Balken einer Waage gezeichnet, und der Auflagepunkt sitzt immer genau beim arithmetischen Mittel. Daneben wird die zugehörige Rechnung mitgeführt: die Summe aller Werte, geteilt durch ihre Anzahl. Ziehe ein Gewicht an eine andere Stelle, füge Gewichte hinzu oder entferne sie und beobachte den Auflagepunkt.
Bedienung mit der Tastatur: mit Tab in die Zeichnung springen, mit ↑/↓ ein Gewicht auswählen, mit ←/→ das ausgewählte Gewicht verschieben, mit Enter ein weiteres Gewicht hinzufügen und mit Entf das ausgewählte Gewicht entfernen. Alle Schaltflächen sind ebenfalls mit Tab und Enter erreichbar; jede Änderung wird vorgelesen.
Anzahl n: 5. Summe der Werte: 40. Arithmetisches Mittel: 8. Ausgewähltes Gewicht: 1. Rechnung wird geladen. Die Messreihe enthält fünf Werte. Der Auflagepunkt liegt beim arithmetischen Mittel.
Halte fest: Verschiebt man ein einzelnes Gewicht weit nach außen, so wandert der Auflagepunkt mit, aber deutlich weniger weit: Ein einzelner Wert verändert die Summe, geteilt wird sie jedoch weiterhin durch alle Werte. Legt man dagegen ein neues Gewicht genau auf den Auflagepunkt, so bleibt dieser stehen, denn Zähler und Nenner wachsen genau passend zueinander. Der Auflagepunkt muss außerdem nicht auf einer Markierung des Zahlenstrahls liegen, so wie \(\bar x \approx 20{,}1\,{}^{\circ}\mathrm{C}\) in der Temperaturmessreihe kein gemessener Wert ist.
Allgemeine Hinweise
Erst zählen
Prüfe \(n\), bevor du teilst. Ein vergessener Wert verfälscht den Nenner.
Einheit mitnehmen
\(\bar x\) hat dieselbe Einheit wie die Messwerte. Nur Häufigkeiten sind reine Anzahlen.
Probe mit Häufigkeiten
Die Summe aller \(H(x)\) muss \(n\) ergeben. Sonst fehlt ein Wert oder er ist doppelt gezählt.
Videos
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