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Bruch, Dezimalzahl, Prozent

Jede relative Häufigkeit ist ein Anteil, jeder Kreisdiagramm-Winkel folgt daraus. Bruch, Dezimalzahl und Prozent sind nur drei Namen für dieselbe Zahl.

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Ein Anteil, drei Schreibweisen

Ein Anteil ist Teil durch Ganzes. Von 120 Befragten fahren 45 mit dem Rad — der Anteil ist \(\tfrac{45}{120}\).

Der Weg zwischen den drei Schreibweisen
45 von 120 Befragten kommen mit dem Rad zur SchuleBruchDezimalzahlProzent380,37537,5 %Zähler durchNenner teilenals Bruch schreiben,dann kürzenmal 100, dann dasProzentzeichen ergänzendurch 100, Prozent-zeichen weglassenDrei Schreibweisen — ein und dieselbe Zahl.
  • Anteil:\(\tfrac{\text{Teil}}{\text{Ganzes}}\); er liegt stets zwischen \(0\) und \(1\).
  • Kürzen:Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen: \(\tfrac{45}{120}=\tfrac{3}{8}\).
  • Bruch \(\rightarrow\) Dezimalzahl:Zähler durch Nenner teilen: \(3:8=0{,}375\).
  • Dezimalzahl \(\rightarrow\) Prozent:mit \(100\) multiplizieren: \(0{,}375=37{,}5\,\%\).
  • Prozent \(\rightarrow\) Dezimalzahl:durch \(100\) teilen: \(37{,}5\,\%=0{,}375\).
  • Stärken:Bruch ist exakt, Dezimalzahl gut vergleichbar, Prozent sofort verständlich.
Merke

Anteil: \(\dfrac{\text{Teil}}{\text{Ganzes}}\); er liegt zwischen \(0\) und \(1\). Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen.

Umrechnen: Bruch \(\rightarrow\) Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen. Dezimalzahl \(\rightarrow\) Prozent: mit \(100\) multiplizieren; Prozent \(\rightarrow\) Dezimalzahl: durch \(100\) teilen.

Prozent: \(1\,\%=\dfrac{1}{100}\), also \(37{,}5\,\%=0{,}375=\dfrac{3}{8}\).

Prozentwert, Grundwert, Prozentsatz

In jeder Prozentaufgabe stecken drei Größen, zwei davon sind gegeben. Benenne sie zuerst und rechne erst dann.

Prozentwert und Grundwert auf demselben Streifen
Ein Streifen, zwei Skalen0 %025 %3050 %6075 %90100 %120p = 37,5 %W = 45 BefragteG = 120 BefragteOben der Prozentsatz, unten die Anzahl — der Streifen selbst ist der Grundwert.
  • Grundwert \(G\):das Ganze, z. B. 120 Befragte; \([G]=1\ \text{Person}\).
  • Prozentwert \(W\):der Teil davon, z. B. 45 Radfahrende.
  • Prozentsatz \(p\):Größe des Teils gemessen am Ganzen; \([p]=1\,\%\).
  • \(p\) gesucht:\(p=\dfrac{W}{G}\cdot100\,\%\), z. B. \(\tfrac{45}{120}\cdot100\,\%=37{,}5\,\%\).
  • \(W\) gesucht:\(W=G\cdot\dfrac{p}{100}\), z. B. \(250\cdot\tfrac{12}{100}=30\) Personen.
  • \(G\) gesucht:\(G=W\cdot\dfrac{100}{p}\), z. B. \(63\cdot\tfrac{100}{35}=180\) Personen.
  • Bezugswort:die Zahl hinter „von“ ist der Grundwert.
Merke

Größen: Grundwert \(G\) ist das Ganze, Prozentwert \(W\) der Teil, Prozentsatz \(p\) der Anteil in Prozent.

\(\dfrac{W}{G}=\dfrac{p}{100}\)

Umgestellt: \(p=\dfrac{W}{G}\cdot100\,\%\), \(W=G\cdot\dfrac{p}{100}\), \(G=W\cdot\dfrac{100}{p}\).

Bezugswort: Die Zahl hinter „von“ ist der Grundwert.

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Anteile in der Stochastik

Die relative Häufigkeit ist nichts anderes als ein Anteil. Aus ihr entsteht auch der Winkel im Kreisdiagramm.

Vom Anteil zum Kreisdiagramm: der Schulweg von 120 Befragten
Schulweg von 120 Befragten135°108°72°45°mit dem RadH = 45  •  h = 0,375  •  α = 135°mit dem BusH = 36  •  h = 0,300  •  α = 108°zu FußH = 24  •  h = 0,200  •  α = 72°mit dem AutoH = 15  •  h = 0,125  •  α = 45°Die vier Winkel ergeben zusammen 360° — genau wie die vier Anteile zusammen 1 ergeben.
  • Absolute Häufigkeit \(H\):wie oft ein Merkmalswert vorkommt; \([H]=1\).
  • Relative Häufigkeit \(h\):\(h=\dfrac{H}{n}\) — oben der Teil, unten das Ganze wie bei \(\tfrac{W}{G}\).
  • Mittelpunktswinkel:\(\alpha=\dfrac{H}{n}\cdot360^\circ\).
  • Beispiel:36 von 120 mit dem Bus: \(h=\tfrac{3}{10}=30\,\%\), \(\alpha=108^\circ\).
  • Kontrolle:alle Winkel ergeben \(360^\circ\): \(135^\circ+108^\circ+72^\circ+45^\circ=360^\circ\).
  • Merkwinkel:\(180^\circ\) = Hälfte, \(120^\circ\) = Drittel, \(90^\circ\) = Viertel, \(36^\circ\) = \(10\,\%\).
Merke

Absolute Häufigkeit: \(H\) gibt an, wie oft ein Merkmalswert vorkommt.

Relative Häufigkeit: \(h=\dfrac{H}{n}\) ist ein Anteil.

Mittelpunktswinkel: \(\alpha=\dfrac{H}{n}\cdot360^\circ\); alle Winkel ergeben zusammen \(360^\circ\).

Kürzen: Der gekürzte Bruch hängt vom Nenner ab, der Prozentsatz nicht.

Wähle zuerst, wie viele Personen befragt wurden. Ziehe danach den blauen Griff am Kreisrand oder am Balken: Bruch, Dezimalzahl, Prozentsatz und Kreiswinkel werden sofort neu berechnet.

Anteils-Umrechner

Ein Kreisdiagramm und ein Balken zeigen denselben Anteil. Der gelbe Kreissektor und der blaue Balkenabschnitt wachsen und schrumpfen gemeinsam, wenn der Griff bewegt wird.KreisdiagrammTEILGRUPPE45BEFRAGTE1200 %25 %50 %75 %100 %

Bedienung mit der Tastatur: mit Tab auf den blauen Griff springen, mit ←/→ um eine Person ändern, mit Bild auf/Bild ab in Fünferschritten, mit Pos1/Ende auf 0 % oder 100 %. Enter merkt den eingestellten Anteil als rote Vergleichslinie. Jede Änderung wird vorgelesen.

Bruch (gekürzt): 3 durch 8. Dezimalzahl: 0,375. Prozent: 37,5 %. Kreiswinkel: 135°. 45 von 120 Befragten — das sind 37,5 % aller Befragten.

Halte fest: Der gekürzte Bruch hängt vom Nenner ab, der Prozentsatz nicht. Endet die Dezimalzahl nicht, ist der Bruch die einzige exakte Form.

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Allgemeine Hinweise

Das Ganze in den Nenner

Im Nenner steht immer der Grundwert. Vertauscht erhältst du Werte über \(100\,\%\).

Grundwert gesucht

Sind \(W\) und \(p\) gegeben, teilst du durch \(\tfrac{p}{100}\). Wer multipliziert, rechnet in die falsche Richtung.

Probe mit dem Anteil

Setze dein Ergebnis in \(\tfrac{W}{G}\) ein. Kommt der gegebene Prozentsatz heraus, stimmt die Rechnung.

Videos

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