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Steigung m berechnen

Dreißig Aufgaben zur Steigung: aus zwei Punkten rechnen, am Steigungsdreieck ablesen, Fehler aufspüren und Punkte auf Geraden setzen.

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Übungsaufgaben

Dreißig Aufgaben zum Rechnen, Ablesen, Zuordnen und Zeichnen. Der Schwerpunkt liegt auf der Formel \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) und dem Steigungsdreieck — mit Rechenketten, Fehlersuchen und einer Gitter-Werkstatt, in der Punkte so gesetzt werden müssen, dass die Steigung stimmt. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.

1Steigt, fällt oder waagerecht?AFB I

Sieben Funktionsterme — nicht alle stehen in der Form \(f(x)=m\,x+b\). Entscheiden Sie anhand der Steigung, wie die Gerade verläuft, und sortieren Sie jede Karte in den passenden Korb.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Gerade steigt
2Gerade fällt
3Gerade ist waagerecht
Entscheidend ist allein die Zahl vor dem \(x\), nachdem der Term geordnet ist: \(5-2x\) hat \(m=-2\), \(-(x-4)=-x+4\) hat \(m=-1\), und \(2(x+1)-2x = 2\) enthält gar kein \(x\) mehr — die Gerade ist waagerecht. Die Zahl \(b\) spielt für die Richtung keine Rolle.
2Rechenkette: Steigung aus zwei PunktenAFB I

Gegeben sind \(P(-2\,|\,5)\) und \(Q(4\,|\,-7)\). \(P\) ist \(P_1\), \(Q\) ist \(P_2\).

Berechnen Sie Zähler, Nenner und schließlich die Steigung.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.
  1. Zähler: \(y_2 - y_1 = -7 - 5 = \;?\)Δy
  2. Nenner: \(x_2 - x_1 = 4 - (-2) = \;?\)Δx
  3. Steigung: \(m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \;?\)m
Zähler \(-12\), Nenner \(6\), also \(m=-2\): Die Gerade fällt, ein Schritt nach rechts geht zwei Einheiten nach unten. Beim Nenner ist \(4-(-2)=6\) — das doppelte Minus wird zum Plus.
3Drei Geraden, drei SteigungenAFB I

Je zwei Punkte legen eine Gerade fest. Berechnen Sie jeweils die Steigung \(m\) (Dezimalzahl).

Formel: \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) — oben die y-Werte, unten die x-Werte, beide Male in derselben Reihenfolge subtrahieren.Welcher Punkt der erste ist, darf frei gewählt werden; das Ergebnis ändert sich nicht.
Einsetzen: a) \(\frac{11-3}{6-2}=\frac{8}{4}\). b) \(\frac{-2-4}{3-(-1)}=\frac{-6}{4}\). c) \(\frac{-5-(-5)}{8-0}=\frac{0}{8}\).Bei c) sind beide y-Werte gleich: Der Zähler wird null.
Lösung: a) \(m=2\). b) \(m=-1{,}5\). c) \(m=0\) — die Gerade durch \(E\) und \(F\) ist waagerecht.Kontrolle für a): Von \(A\) vier Schritte nach rechts und acht nach oben ergibt genau \(B\).