Die lineare Funktion und ihre beiden Zahlen
Der Graph einer linearen Funktion \(f(x)=m\,x+b\) ist eine Gerade. Die zwei Zahlen \(m\) und \(b\) legen sie fest.
- Steigung \(m\):Zahl vor dem \(x\) — gibt an, wie steil die Gerade verläuft.
- y-Achsenabschnitt \(b\):Zahl ohne \(x\) — die Gerade schneidet die y-Achse in \((0\,|\,b)\).
Beide Buchstaben im Term haben eine Aufgabe. \(m\) bestimmt die Neigung der Geraden, \(b\) bestimmt ihre Höhe auf der y-Achse.
- \(m>0\):die Gerade steigt.
- \(m=0\):die Gerade ist waagerecht.
- \(m<0\):die Gerade fällt.
- Betrag:je größer \(|m|\), desto steiler die Gerade.
Von links nach rechts gelesen geht es bei \(m>0\) bergauf, bei \(m=0\) geradeaus und bei \(m<0\) bergab. Das Vorzeichen von \(m\) entscheidet über die Richtung, sein Betrag über die Steilheit.
Lineare Funktion: \(f(x)=m\,x+b\); ihr Graph ist eine Gerade.
Steigung \(m\): Die Zahl vor dem \(x\) gibt an, wie steil die Gerade verläuft.
y-Achsenabschnitt \(b\): Die Gerade schneidet die y-Achse in \((0\,|\,b)\).
Vorzeichen von \(m\): \(m>0\): steigt, \(m=0\): waagerecht, \(m<0\): fällt; je größer \(|m|\), desto steiler.
Die Steigung aus zwei Punkten
Kennst du zwei Punkte der Geraden, rechnest du \(m\) aus. Du teilst die Änderung der y-Werte durch die Änderung der x-Werte.
- Benennen:\(P_1(x_1\,|\,y_1)\) und \(P_2(x_2\,|\,y_2)\) — welcher welcher ist, darfst du frei wählen.
- Zähler:\(y_2-y_1\).
- Nenner:\(x_2-x_1\) — in derselben Reihenfolge wie oben.
- Ausrechnen:Bruch berechnen oder kürzen, das Ergebnis ist \(m\).
- Beispiel:\(P(1\,|\,6)\), \(Q(-3\,|\,-8)\): \(m=\frac{-8-6}{-3-1}=\frac{-14}{-4}=3{,}5\).
Steigung aus zwei Punkten: Für \(P_1(x_1\,|\,y_1)\) und \(P_2(x_2\,|\,y_2)\) gilt:
\(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
Reihenfolge: Im Zähler und im Nenner muss die Reihenfolge der Punkte dieselbe sein.
Das Steigungsdreieck
Ist die Gerade gezeichnet, liest du \(m\) direkt ab. Dazu setzt du ein rechtwinkliges Dreieck an die Gerade, das Steigungsdreieck.
Drei Schritte nach rechts, zwei Schritte nach oben: das ist die Steigung \(m=\frac{2}{3}\). Die Gerade schneidet die y-Achse bei \(0{,}5\). Aus der Zeichnung ergibt sich damit \(f(x)=\frac{2}{3}x+0{,}5\).
- \(\Delta x\):waagerechte Kathete, nach rechts abgetragen und damit positiv.
- \(\Delta y\):senkrechte Kathete — nach oben positiv, nach unten negativ.
- Ablesen:beide Ecken auf Gitterpunkte legen, dann zählst du \(\Delta x\) und \(\Delta y\) genau ab.
- \(b\) ablesen:Schnittstelle mit der y-Achse, hier \(b=0{,}5\).
- Prozent:8 % auf einem Verkehrsschild heißt \(m=0{,}08\): 8 m Höhe auf 100 m waagerecht.
Steigungsdreieck: Ein rechtwinkliges Dreieck an der Geraden mit \(m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\).
Vorzeichen: \(\Delta x\) wird nach rechts abgetragen und ist positiv; \(\Delta y\) ist nach oben positiv, nach unten negativ.
Gleiche Gerade: Jedes Steigungsdreieck an derselben Geraden liefert dasselbe \(m\).
Prozent: 8 % Steigung bedeutet \(m=0{,}08\).
Ziehe die Punkte \(P_1\) und \(P_2\) und beobachte, wie sich das Steigungsdreieck und damit die Steigung \(m\) verändert. Die Punkte rasten auf ganzen Zahlen ein.
Mit der Tabulatortaste wählst du einen Punkt aus und verschiebst ihn mit den Pfeiltasten; Enter oder die Leertaste setzt ihn in den Ursprung zurück.
Δx: 5. Δy: 3. Steigung m: 0,6. y-Achsenabschnitt b: −0,2. Die Steigung ist positiv, die Gerade steigt.
Halte fest: \(m\) ändert sich nicht, solange du einen Punkt entlang der Geraden verschiebst: Jedes Steigungsdreieck an derselben Geraden liefert denselben Quotienten \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
Allgemeine Hinweise
y oben, x unten
Die y-Werte gehören in den Zähler, die x-Werte in den Nenner. Vertauscht erhältst du den Kehrwert.
Gleiche Reihenfolge
Ziehe oben und unten denselben Punkt ab. Sonst stimmt das Vorzeichen von \(m\) nicht.
Gitterpunkte nutzen
Setze das Steigungsdreieck an Kästchenecken an. Dann liest du \(\Delta x\) und \(\Delta y\) exakt ab.