Die Rangfolge der Rechenarten
Ein Term wie \(3+4\cdot 5\) enthält zwei Rechnungen, aber nur eine davon darf zuerst ausgeführt werden. Welche das ist, ist nicht Geschmackssache, sondern festgelegt. Diese Festlegung heisst Rangfolge: Sie sorgt dafür, dass jeder, der denselben Term rechnet, auch dasselbe Ergebnis erhält.
Punkt vor Strich: Punktrechnung, also Mal und Geteilt, geht vor Strichrechnung, also Plus und Minus.
Im Term \(3+4\cdot 5\) ist deshalb zuerst das Produkt \(4\cdot 5\) an der Reihe und erst danach die Addition:
Punkt vor Strich am Beispiel
Soll trotzdem zuerst addiert werden, muss die Addition eingeklammert werden. Damit ist die Klammer das stärkste Zeichen im Term: Sie sticht jede andere Rangfolge.
Klammern zuerst: Klammern werden zuerst berechnet, bei geschachtelten Klammern von innen nach außen.
Punkt vor Strich: Punktrechnung (Multiplikation, Division) wird vor der Strichrechnung (Addition, Subtraktion) ausgeführt.
\(3+4\cdot5=3+20=23\quad\text{und}\quad(3+4)\cdot5=35\)
Rangfolge: Sie sorgt dafür, dass jeder dasselbe Ergebnis erhält.
Klammer vor Punkt am Beispiel
Von Stufe 1 bis Stufe 4 wird der Reihe nach abgearbeitet. Klammern schlagen Potenzen, Potenzen schlagen Punktrechnung, Punktrechnung schlägt Strichrechnung.
- Punktrechnung:Multiplikation und Division, also \(\cdot\) und \(:\).
- Strichrechnung:Addition und Subtraktion, also \(+\) und \(-\).
- Klammer:Fasst einen Teilterm zusammen. Was in ihr steht, wird zuerst zu einer einzigen Zahl gemacht.
- von innen nach aussen:Bei ineinandergeschachtelten Klammern beginnt man bei der innersten und arbeitet sich nach aussen vor.
Bevor es mit den Vorzeichen weitergeht: Entscheide selbst, welche Rechnung in einem Term zuerst an der Reihe ist. Klicke das Rechenzeichen an, das zuerst ausgerechnet werden muss. Die Terme stammen vom Arbeitsblatt zu diesem Kapitel.
Mit der Tabulatortaste springst du zwischen den Rechenzeichen, mit den Pfeiltasten wechselst du zwischen ihnen, mit Eingabe- oder Leertaste wählst du aus.
Aktueller Term: 12 − 3 · 2. Schritt: 1 von 2. Ergebnis: noch offen. Wähle das Rechenzeichen aus, das nach der Rangfolge zuerst dran ist.
Halte fest: Solange eine Klammer noch etwas enthält, kommt keine Rechnung ausserhalb der Klammer an die Reihe. Erst wenn alle Klammern aufgelöst sind, entscheidet Punkt vor Strich.
Die Vorzeichenregeln
Sobald negative Zahlen im Spiel sind, gehört zu jeder Multiplikation eine zweite Frage: Welches Vorzeichen hat das Ergebnis? Die Antwort hängt nur davon ab, welche Vorzeichen die beiden Faktoren haben, und lässt sich in vier Zeilen aufschreiben.
| Rechnung | Ergebnis-Vorzeichen |
|---|---|
| \((+)\cdot(+)\) | \(+\) |
| \((+)\cdot(-)\) | \(-\) |
| \((-)\cdot(+)\) | \(-\) |
| \((-)\cdot(-)\) | \(+\) |
Gleich oder verschieden: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, verschiedene Vorzeichen ergeben Minus. Dasselbe gilt für die Division.
\((+)\cdot(+)=+\quad(-)\cdot(-)=+\quad(+)\cdot(-)=-\quad(-)\cdot(+)=-\)
Minus vor Klammer: Aus \(-(-5)\) wird \(+5\), also \(-2-(-5)=-2+5=3\).
Die beiden grünen Felder liegen auf der Diagonalen: Dort haben beide Faktoren dasselbe Vorzeichen. Nur wenn sich die Vorzeichen unterscheiden, wird das Ergebnis negativ.
- Minus mal Minus:\(-2 \cdot (-5) = 10\)
- Minus vor Klammer:\(-2 - (-5) = -2 + 5 = 3\), denn aus \(-(-5)\) wird \(+5\).
- Beispiel:\(-(-3) - (-7) = 3 + 7 = 10\)
Das Minuszeichen und die Potenz
Nach der Rangfolge steht die Potenz eine Stufe über der Punktrechnung und damit weit über dem Strich. Genau daraus entsteht ein Unterschied, der sich nur in einer Klammer zeigt: \(-2^2\) und \((-2)^2\) sehen ähnlich aus, sind aber zwei verschiedene Terme.
Zwei Terme, zwei Ergebnisse
Der farbige Balken markiert jeweils die Basis, also das, was quadriert wird. Ohne Klammer wird nur die 2 quadriert und das Ergebnis anschliessend negativ gemacht.
- Ohne Klammer:\(-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9\) — nur die 3 ist die Basis.
- Mit Klammer:\((-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9\)
- Ungerader Exponent:\((-2)^3 = -8\) und \(-2^3 = -8\) — hier nur zufällig gleich.
Potenz vor Strich: Die Potenz wird vor der Punkt- und Strichrechnung berechnet.
Ohne Klammer: Nur die Zahl ist die Basis: \(-2^2=-(2\cdot2)=-4\).
Mit Klammer: Das Minuszeichen gehört zur Basis: \((-2)^2=(-2)\cdot(-2)=4\).
Das Kommutativgesetz
Bei manchen Rechenarten darf die Reihenfolge der beteiligten Zahlen vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Diese Eigenschaft heisst Kommutativgesetz, auf Deutsch Vertauschungsgesetz.
Kommutativgesetz
Ob zuerst der kurze oder zuerst der lange Block liegt, spielt für die Gesamtlänge keine Rolle. Genau das sagt das Kommutativgesetz für die Addition aus.
Kommutativgesetz: Vertauschungsgesetz: Bei Addition und Multiplikation darf man die Reihenfolge vertauschen.
\(a+b=b+a\qquad a\cdot b=b\cdot a\)
Nicht für alle Rechenarten: Bei Subtraktion und Division gilt es nicht; Vertauschen ändert das Ergebnis.
- Summand:Eine der Zahlen, die addiert werden.
- Faktor:Eine der Zahlen, die multipliziert werden.
- Kommutativgesetz:Erlaubt das Vertauschen — aber nur bei Addition und Multiplikation.
Allgemeine Hinweise
Nicht stur von links
Rechnest du einfach von links nach rechts, wird das Ergebnis oft falsch. Prüfe zuerst Klammern, Potenzen und Punktrechnung.
\(-3^2\) ist nicht 9
Ohne Klammer gehört das Minus nicht zur Basis. Es gilt \(-3^2 = -9\), aber \((-3)^2 = 9\).
Minus vor der Klammer
Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen darin um. Aus \(-(-5)\) wird also \(+5\).
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