Zwei, eine oder keine Nullstelle
An einer Nullstelle trifft der Graph die \(x\)-Achse. Eine Parabel kann sie zweimal schneiden, einmal berühren oder gar nicht erreichen.
Die orange Parabel schneidet die \(x\)-Achse zweimal, die rote berührt sie bei \((1\,|\,0)\), die grüne erreicht sie nicht. Mehr als diese drei Fälle gibt es nicht.
- Zwei Nullstellen:die Parabel schneidet die \(x\)-Achse an zwei Stellen.
- Eine Nullstelle:die Parabel berührt die \(x\)-Achse, der Scheitelpunkt liegt auf ihr.
- Keine Nullstelle:die Parabel liegt ganz oberhalb oder ganz unterhalb der \(x\)-Achse.
Nullstelle: Dort trifft der Graph die \(x\)-Achse.
Zwei Nullstellen: Die Parabel schneidet die \(x\)-Achse zweimal.
Eine Nullstelle: Die Parabel berührt die \(x\)-Achse im Scheitelpunkt.
Keine Nullstelle: Die Parabel liegt ganz oberhalb oder ganz unterhalb der Achse.
Nullstellen mit der pq-Formel
Du setzt \(f(x)=0\) und wendest die pq-Formel an. Sie gilt nur für die Normalform \(x^2+px+q=0\).
- Normalform:vor \(x^2\) steht keine Zahl — sonst zuerst durch \(a\) teilen.
- \(p\) und \(q\):mit ihrem Vorzeichen ablesen.
- \(\pm\):einmal mit Plus, einmal mit Minus rechnen.
- Wert unter der Wurzel:positiv: zwei, null: eine, negativ: keine Nullstelle.
pq-Formel: Sie gilt nur für die Normalform \(x^2+px+q=0\); sonst zuerst durch \(a\) teilen.
\(x_{1/2}=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\)
Vorzeichen: \(p\) und \(q\) werden mit Vorzeichen abgelesen.
Wert unter der Wurzel: Positiv: zwei Nullstellen, null: eine Nullstelle, negativ: keine Nullstelle.
Was entscheidet nun darüber, welcher der drei Fälle eintritt? Stelle \(p\) und \(q\) in der Normalform \(f(x)=x^2+px+q\) ein und beobachte den Wert unter der Wurzel. Mit den Fall-Knöpfen springst du direkt in einen der drei Fälle.
p: 2. q: −3. unter der Wurzel: 4. Nullstellen: 1 und −3. Der Wert unter der Wurzel ist positiv. Das Plus-Minus-Zeichen liefert zwei verschiedene Ergebnisse: zwei Nullstellen.
Halte fest: Solange unter der Wurzel eine positive Zahl steht, gibt es zwei Nullstellen. Wird der Wert genau null, fallen beide zusammen — es bleibt eine. Wird er negativ, lässt sich die Wurzel nicht ziehen, und es gibt keine Nullstelle.
Das Beispiel in vier Schritten
Bei \(f(x)=2x^2-8x-10\) steht vor \(x^2\) eine 2. Du stellst also zuerst die Normalform her.
- 1. Normalform:\(2x^2-8x-10=0\;\;\vert:2\;\;\Rightarrow\; x^2-4x-5=0\).
- 2. \(p\) und \(q\):\(p=-4\), \(q=-5\).
- 3. Einsetzen:\(x_{1/2}=2\pm\sqrt{4+5}=2\pm 3\).
- 4. Lösung:\(x_1=5\), \(x_2=-1\) — unter der Wurzel steht \(9>0\), also zwei Nullstellen.
Die Parabel schneidet die \(x\)-Achse an zwei Stellen. Es sind genau die berechneten Nullstellen \(x_1=5\) und \(x_2=-1\).
Normalform: Steht vor \(x^2\) eine Zahl, zuerst durch diese Zahl teilen.
Ablauf: Normalform herstellen, \(p\) und \(q\) ablesen, in die pq-Formel einsetzen, Lösungen angeben.
Beispiel: \(2x^2-8x-10=0\) wird zu \(x^2-4x-5=0\) mit \(x_1=5\) und \(x_2=-1\).
Derselbe Weg mit dem GTR
Mit dem GTR löst du \(f(x)=0\) ohne Umformen. Du gibst den Term ein, wie er dasteht.
- Eingabe:\(Y_1=2x^2-8x-10\) — der Originalterm.
- Befehl:Nullstellen-Befehl (Zero) anwenden.
- Ausgabe:\(x_1=5\), \(x_2=-1\).
- Vergleich:pq-Formel und GTR liefern dieselben Nullstellen.
GTR: Der Term wird so eingegeben, wie er dasteht; eine Normalform ist nicht nötig.
Nullstellen-Befehl: Der Befehl Zero liefert die Nullstellen von \(Y_1\).
Vergleich: pq-Formel und GTR liefern dieselben Nullstellen.
Allgemeine Hinweise
Erst die Normalform
Die pq-Formel gilt nur, wenn vor \(x^2\) keine Zahl steht. Teile sonst zuerst die ganze Gleichung durch \(a\).
Vorzeichen von p und q
Übernimm \(p\) und \(q\) mit ihrem Vorzeichen. Negative Zahlen setzt du in Klammern ein.
Wurzel zuerst
Berechne zuerst den Wert unter der Wurzel. Er verrät dir sofort, wie viele Nullstellen es gibt.