Quadratische Funktionen

Kommt in der Funktionsgleichung ein \(x^2\) vor, heißt die Funktion quadratisch.

• \(a\):Zahl vor \(x^2\) — sie darf nicht null sein.
• \(b\):Zahl vor \(x\) — sie darf null sein.
• \(c\):Zahl ohne \(x\) — sie darf ebenfalls null sein.
• Warum \(a\neq 0\):bei \(a=0\) bleibt \(f(x)=bx+c\), also eine lineare Funktion.

Parabel und Scheitelpunkt

Der Graph einer quadratischen Funktion ist keine Gerade, sondern eine gebogene Kurve mit einer Umkehrstelle.

• Parabel:Graph einer quadratischen Funktion.
• Scheitelpunkt:tiefster bzw. höchster Punkt der Parabel.
• Normalparabel:\(f(x)=x^2\) mit \(a=1\), \(b=c=0\) und \(S(0\,|\,0)\).
• Öffnung:\(a>0\): nach oben, \(S\) ist der tiefste Punkt; \(a<0\): nach unten, \(S\) ist der höchste Punkt.

Bevor die Darstellungsformen kommen: Sieh dir an, wie die drei Zahlen \(a\), \(x_s\) und \(y_s\) die Parabel bestimmen. Ziehe den orangen Scheitelpunkt und verstelle \(a\) mit dem Regler — auch der Wert \(a=0\) ist einstellbar.

Halte fest: Der Scheitelpunkt ist immer der tiefste Punkt, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist, und der höchste, wenn sie nach unten geöffnet ist. Und bei \(a=0\) bleibt keine Parabel übrig — genau deshalb steht in der Definition \(a\neq 0\). Die drei Zahlen, die du hier einstellst, tauchen im nächsten Abschnitt in einer der Darstellungsformen wieder auf.

Dieselbe quadratische Funktion kannst du auf drei Arten schreiben. Jede Form zeigt andere Zahlen direkt.

• Allgemeine Form:\(f(x)=ax^2+bx+c\) — zeigt \(a\), \(b\) und \(c\).
• Normalform:\(f(x)=x^2+px+q\) — hier ist \(a=1\), die Zahlen heißen \(p\) und \(q\). Ist \(a\neq1\), bringt man nur die Gleichung \(f(x)=0\) durch Teilen durch \(a\) auf die Form \(x^2+px+q=0\).
• Scheitelpunktform:\(f(x)=a\cdot\left(x-x_s\right)^2+y_s\) — zeigt den Scheitelpunkt \(S(x_s\,|\,y_s)\).
• Beispiel:\(f(x)=2\cdot(x-3)^2+1\) hat den Scheitelpunkt \(S(3\,|\,1)\).