Was eine Potenz ist
Eine Potenz kürzt ein Produkt aus gleichen Faktoren ab: \(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 2^5\).
Der Exponent ist keine gewöhnliche Rechenzahl, sondern eine Anzahl. Er zählt die Faktoren, nicht die Summanden.
- Basis:die Zahl \(a\), die mit sich selbst multipliziert wird.
- Exponent:zählt die gleichen Faktoren: \(a^n = a\cdot a\cdot\ldots\cdot a\) mit \(n\) Faktoren.
- Exponent 1 und 0:festgelegt als \(a^1 = a\) und \(a^0 = 1\).
- Negativer Exponent:bedeutet Kehrwert, z. B. \(5^{-1} = \tfrac{1}{5}\) und \(3^{-7} = \tfrac{1}{3^7}\).
- Nicht definiert:\(0^0\) und die Basis \(0\) mit negativem Exponenten, z. B. \(0^{-2}\).
Potenz: Abkürzung für ein Produkt gleicher Faktoren: \(a^n = a\cdot a\cdot\ldots\cdot a\) mit \(n\) Faktoren; \(a\) ist die Basis, \(n\) der Exponent.
Festlegungen: \(a^0 = 1\), \(a^1 = a\) und \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) \((a\neq 0)\); ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert.
Nicht definiert: \(0^0\) und die Basis \(0\) mit negativem Exponenten.
Stelle mit dem Regler eine Basis ein und wandere über die Exponenten von \(-3\) bis \(3\): Klicke eine Karte an oder verstelle den Exponenten.
Mit der Tabulatortaste in die Leiter springen, mit den Pfeiltasten links und rechts die Karte wechseln; Eingabetaste und Leertaste wählen aus.
Basis a: 2. Exponent n: 0. Wert der Potenz: 1. Der Exponent 0: festgelegt ist a hoch 0 gleich 1 für jede Basis außer der Basis 0.
Halte fest: Bei der Basis \(0\) bricht die Leiter links ab — dort müsstest du durch \(0\) teilen.
Wurzeln als Potenzen mit gebrochenem Exponenten
Die \(n\)-te Wurzel fragt rückwärts: Welche nichtnegative Zahl ergibt hoch \(n\) genau \(a\)?
- Wurzelgrad:die Zahl \(n\) vor dem Wurzelzeichen — sie wird zum Nenner des Exponenten.
- Radikand:die Zahl unter der Wurzel — sie wird zur Basis.
- Quadratwurzel:Sonderfall \(n = 2\): \(\sqrt{a} = a^{\frac12}\).
- Zähler:gibt die Potenz unter der Wurzel an: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
- Bedingung:für gebrochene Exponenten muss \(a > 0\) sein.
- Beispiel:\(343^{\frac43} = \left(\sqrt[3]{343}\right)^4 = 7^4 = 2\,401\).
Wurzel als Potenz: Die \(n\)-te Wurzel ist die nichtnegative Zahl, die hoch \(n\) genau \(a\) ergibt; der Wurzelgrad wird zum Nenner des Exponenten.
\(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)
Bedingung: Für gebrochene Exponenten muss \(a>0\) sein.
Die fünf Potenzgesetze
Die Gesetze gelten für alle Exponenten, auch negative und gebrochene. Sie fassen nur Produkte und Quotienten zusammen.
Die Faktoren beider Potenzen werden nebeneinandergestellt und einfach weitergezählt. Deshalb addiert man bei gleicher Basis die Exponenten.
- (P1):gleiche Basis multiplizieren: \(a^r\cdot a^s = a^{r+s}\).
- (P1)*:gleiche Basis dividieren: \(\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\).
- (P2):gleiche Exponenten multiplizieren: \(a^r\cdot b^r = (a\cdot b)^r\).
- (P2)*:gleiche Exponenten dividieren: \(\frac{a^r}{b^r} = \left(\frac{a}{b}\right)^r\).
- (P3):Potenz potenzieren: \(\left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}\).
- Beispiel:\(2^4\cdot 2^{-7} = 2^{-3} = \tfrac18\).
Wurzeln fasst du zusammen, indem du sie zuerst in Potenzen übersetzt.
- Herleitung:\(\sqrt[3]{5^2}\cdot\sqrt[4]{5^{-2}}\)
- Wurzeln umschreiben:\(= 5^{\frac23}\cdot 5^{-\frac12}\)
- (P1) anwenden:\(= 5^{\frac23-\frac12} = 5^{\frac{4-3}{6}}\)
- Ergebnis:\(= 5^{\frac16} = \sqrt[6]{5}\)
Potenzgesetze: Sie gelten für alle Exponenten und fassen Produkte und Quotienten zusammen.
\(a^r\cdot a^s = a^{r+s}\quad\dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\quad a^r\cdot b^r = (a\cdot b)^r\quad\dfrac{a^r}{b^r} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^r\quad\left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}\)
Wurzeln: Zuerst in Potenzen umschreiben, dann die Potenzgesetze anwenden.
Allgemeine Hinweise
Keine Summen
\(a^r + a^s\) ist nicht \(a^{r+s}\). Ebenso ist \(\sqrt{16+9} = 5\), aber \(\sqrt{16}+\sqrt{9} = 7\).
Minus im Exponenten
Ein negativer Exponent macht die Potenz nicht negativ. Er bildet den Kehrwert: \(2^{-3} = \tfrac18\).
Erst umschreiben
Schreibe jede Wurzel als Potenz mit Bruch im Exponenten. Dann kannst du die Gesetze direkt anwenden.