Nullstellen berechnen: Übungen – Mathe Klasse 11

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Übungsaufgaben

Dreißig Aufgaben rund um den Ansatz \(f(x)=0\) und die Formel \(x=-\frac{b}{m}\). Nach einem kurzen Vokabel-Check geht es vor allem ums Rechnen: Nullstellen aus Termen, aus zwei Punkten, aus Sachsituationen — und rückwärts, wenn die Nullstelle bekannt ist und ein Parameter fehlt. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.

1Die Vokabeln der NullstelleAFB I

Bevor gerechnet wird: Vervollständigen Sie den Merktext mit den passenden Begriffen. Drei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Eine ist ein x-Wert, an dem der Funktionswert ist. Im Graphen gehört sie zum Schnittpunkt mit der . Die Formel \(x=-\frac{b}{m}\) darf nur angewendet werden, wenn gilt. Der y-Achsenabschnitt \(b\) ist dagegen keine Stelle, sondern ein .

Nullstelle und y-Achsenabschnitt werden gern verwechselt: Die Nullstelle ist ein x-Wert (eine Stelle), \(b\) ist ein y-Wert (ein Funktionswert). „b ≠ 0“ ist keine Bedingung — auch mit \(b=0\) funktioniert die Formel, die Nullstelle ist dann 0.

2Drei Nullstellen berechnenAFB I

Berechnen Sie jeweils die Nullstelle (als Dezimalzahl).

a) \(f(x)=4x-10\): x =

b) \(g(x)=-3x-9\): x =

c) \(h(x)=0{,}5x+4\): x =

Ansatz: Funktionsterm gleich null setzen und nach \(x\) auflösen — oder direkt \(x=-\frac{b}{m}\) verwenden.Beide Wege sind dieselbe Rechnung; die Formel ist nur die abgekürzte Form.

Einsetzen: a) \(x=-\frac{-10}{4}\). b) \(x=-\frac{-9}{-3}\). c) \(x=-\frac{4}{0{,}5}\).Bei b) stehen drei Minuszeichen: Das Ergebnis ist negativ.

Lösung: a) \(x=2{,}5\). b) \(x=-3\). c) \(x=-8\).Probe c): \(0{,}5\cdot(-8)+4=-4+4=0\) ✓

3Rechenkette: Umstellen bis zur ProbeAFB I

Gegeben ist \(f(x)=-2x+7\).

Stellen Sie die Gleichung \(f(x)=0\) Schritt für Schritt um und führen Sie am Ende die Probe durch.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.

Aus \(-2x+7=0\) wird nach dem ersten Umstellen \(-2x=\;?\)
Durch \(-2\) teilen: \(x=\;?\)x
Probe: \(f(3{,}5)=-2\cdot 3{,}5+7=\;?\)

Erst wird \(7\) auf die andere Seite gebracht (\(-2x=-7\)), dann durch \(-2\) geteilt: \(x=3{,}5\). Die Probe liefert \(-7+7=0\) — das muss bei einer Nullstelle immer herauskommen.