Was eine Nullstelle ist
An einer Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse. Dort ist der Funktionswert null.
- Nullstelle:Stelle \(x\) mit \(f(x)=0\).
- Im Graphen:x-Koordinate des Schnittpunkts mit der x-Achse.
- Nicht verwechseln:die Nullstelle ist ein x-Wert, \(b\) ein Funktionswert auf der y-Achse.
Die Gerade schneidet die y-Achse bei \(b=0{,}5\) und die x-Achse bei \(x=-0{,}75\). Der Schnittpunkt mit der x-Achse liefert die Nullstelle, denn dort ist der Funktionswert null.
Nullstelle: Eine Stelle \(x\) mit \(f(x)=0\); dort schneidet der Graph die \(x\)-Achse.
Nicht verwechseln: Die Nullstelle ist ein \(x\)-Wert, \(b\) ein Funktionswert auf der \(y\)-Achse.
Der Rechenweg zur Formel
Du setzt den Funktionsterm gleich null und stellst nach \(x\) um.
Jede Zeile entsteht aus der vorherigen durch eine einzige Umformung. Am Ende steht \(x\) allein — die Nullstelle ist berechnet.
- Ansatz:\(f(x)=0\).
- Einsetzen:\(m\,x+b=0\).
- \(-b\):\(m\,x=-b\).
- \(:m\):\(x=-\frac{b}{m}\) — teilen darfst du nur für \(m\neq 0\).
- \(m=0\):die Gerade ist waagerecht und schneidet die x-Achse nicht (außer bei \(b=0\)).
Nullstelle: \(f(x)=0\) ansetzen und \(m\,x+b=0\) nach \(x\) umstellen.
\(x=-\dfrac{b}{m}\quad(m\neq 0)\)
Sonderfall: Bei \(m=0\) ist die Gerade waagerecht und schneidet die \(x\)-Achse nicht (außer bei \(b=0\)).
Formel anwenden und Ergebnis prüfen
Du setzt \(m\) und \(b\) aus dem Term ein. Mit der Probe kontrollierst du das Ergebnis.
Stelle mit den Reglern die Steigung \(m\) und den y-Achsenabschnitt \(b\) ein und beobachte, wohin die Nullstelle wandert. Der orange Punkt zeigt die berechnete Nullstelle.
Steigung m: 0,5. y-Achsenabschnitt b: 2. Nullstelle x: −4. Die Gerade schneidet die x-Achse genau einmal.
Halte fest: Je flacher die Gerade wird, desto weiter wandert die Nullstelle nach außen — und bei \(m=0\) gibt es überhaupt keinen Schnittpunkt mehr, weil in der Formel durch \(0\) geteilt werden müsste.
- Vorzeichen:ist \(b\) negativ, heben sich die beiden Minuszeichen auf.
- Bruch im Nenner:mit dem Kehrwert multiplizieren.
Probe: \(f(x)=0\) für die berechnete Nullstelle
Anwenden: \(m\) und \(b\) aus dem Term einsetzen; ein Bruch im Nenner wird mit dem Kehrwert multipliziert, bei negativem \(b\) heben sich die Minuszeichen auf.
Allgemeine Hinweise
Minus nicht vergessen
Das Minus in \(x=-\frac{b}{m}\) gehört zur Formel. Ist \(b\) negativ, wird die Nullstelle positiv.
Nullstelle ist nicht b
\(b\) liegt auf der y-Achse, die Nullstelle auf der x-Achse. Lies beide an der richtigen Achse ab.
Immer die Probe
Setze dein Ergebnis in \(f\) ein. Kommt null heraus, stimmt die Nullstelle.