Was die Normale ist
Eine Normale ist eine Gerade, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft. Ihre Steigung hängt direkt von der Steigung der ersten Geraden ab.
- Normale:Gerade, die im rechten Winkel auf der Geraden \(f\) steht.
- \(m_f\):Steigung der gegebenen Funktion \(f\).
- \(m_{\text{Normale}}\):Steigung der Normalen.
- Richtung:steigt \(f\), fällt die Normale — und umgekehrt.
Die rote Gerade \(f\) steigt, die grüne Normale fällt und ist deutlich steiler. Am Schnittpunkt bilden beide einen rechten Winkel.
Normale: Eine Gerade, die im rechten Winkel auf der Geraden \(f\) steht.
Steigungen: \(m_f\) ist die Steigung von \(f\), \(m_{\text{Normale}}\) die der Normalen.
Richtung: Steigt \(f\), fällt die Normale — und umgekehrt.
Die Formel für die Normalensteigung
Du bildest den Kehrwert von \(m_f\) und drehst das Vorzeichen um.
- Ablesen:\(m_f\) ist die Zahl vor dem \(x\).
- Kehrwert:Zähler und Nenner tauschen.
- Vorzeichen:umdrehen — das Ergebnis ist \(m_{\text{Normale}}\).
- Anschaulich:das Steigungsdreieck um 90° kippen: \(\Delta x\) und \(\Delta y\) tauschen, eines wechselt das Vorzeichen.
Bei \(f\) gehören \(\Delta x = 3\) und \(\Delta y = 2\) zusammen, bei der Normalen \(\Delta x = 2\) und \(\Delta y = -3\). Die Katheten tauschen die Rollen, und eine wechselt das Vorzeichen.
- Beispiel:\(f(x)=\frac{2}{3}x+0{,}5\): \(m_{\text{Normale}}=-\frac{3}{2}\) — \(b\) spielt keine Rolle.
Normalensteigung: Kehrwert von \(m_f\) bilden und das Vorzeichen umdrehen.
\(m_{\text{Normale}}=-\dfrac{1}{m_f}\quad(m_f\neq 0)\)
Ablesen: \(m_f\) ist die Zahl vor dem \(x\); \(b\) spielt keine Rolle.
Die Formel prüfen
Das Produkt der beiden Steigungen ist immer \(-1\). Damit kontrollierst du jedes Ergebnis.
Drehe die rote Gerade und beobachte, wie die grüne Normale mitwandert — der rechte Winkel bleibt dabei immer erhalten. Ziehe den roten Griff mit der Maus oder dem Finger im Kreis herum; der Regler tut dasselbe.
Bedienung mit der Tastatur: mit der Tabulatortaste den Griff auswählen und die Steigung mit den Pfeiltasten verstellen; Enter oder die Leertaste setzt m f gleich 1.
Die beiden Geraden stehen senkrecht aufeinander. Steigung mNormale: −1,43. Produkt der Steigungen: −1.
Das Produkt der beiden Steigungen bleibt bei jeder Drehung gleich \(-1\). Achte auch darauf, was passiert, wenn \(m_f\) sehr klein wird: Die Normale wird dann sehr steil.
- Probe:\(\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1\) — die Geraden stehen senkrecht.
- Steil und flach:ist \(f\) steil, ist die Normale flach — und umgekehrt.
- Sonderfall \(m_f=0\):die Normale ist senkrecht und hat keine Steigung.
Senkrecht: \(m_f\cdot m_{\text{Normale}}=-1\)
Probe: Mit dem Produkt der Steigungen lässt sich jedes Ergebnis kontrollieren.
Sonderfall: Bei \(m_f=0\) ist die Normale senkrecht und hat keine Steigung.
Allgemeine Hinweise
Kehrwert und Minus
Nur den Kehrwert zu bilden reicht nicht. Auch das Vorzeichen muss sich umdrehen.
Waagerechte Gerade
Bei \(m_f=0\) stünde eine Null im Nenner. Die Normale ist dann senkrecht und hat keine Steigung.
Brüche kippen
Aus \(m_f=\frac{a}{b}\) wird direkt \(-\frac{b}{a}\). Ganze Zahlen schreibst du vorher als Bruch, z. B. \(4=\frac{4}{1}\).