Der Logarithmus als gesuchter Exponent
Beim Logarithmus kennst du Basis und Wert der Potenz. Gesucht ist der Exponent.
- Frage:Mit welchem Exponenten \(x\) muss ich \(a\) potenzieren, damit \(b\) herauskommt?
- Schreibweise:\(x = \log_a(b)\), gelesen „Logarithmus von \(b\) zur Basis \(a\)“.
- Basis:\(a > 0\) und \(a \neq 1\).
- Argument:die Zahl \(b\) in der Klammer — sie muss positiv sein.
- Logarithmuswert:darf jede reelle Zahl sein, z. B. \(\log_{10}(0{,}1) = -1\).
Die Potenz nennt den Wert, der Logarithmus nennt den Exponenten. Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens.
Logarithmus: \(\log_a(b)\) ist der Exponent, mit dem man \(a\) potenzieren muss, um \(b\) zu erhalten.
\(a^x = b \;\Longleftrightarrow\; x = \log_a(b)\)
Bedingungen: Basis \(a>0\) und \(a\neq1\), Argument \(b>0\); der Logarithmuswert darf jede reelle Zahl sein.
Die drei Logarithmusgesetze
Jedes Potenzgesetz überträgt sich auf den Logarithmus. Dabei wird jede Rechenart eine Stufe einfacher.
- Produktregel:\(\log(x\cdot y) = \log(x) + \log(y)\) — aus mal wird plus.
- Quotientenregel:\(\log\left(\frac{x}{y}\right) = \log(x) - \log(y)\) — aus geteilt wird minus.
- Potenzregel:\(\log\left(x^k\right) = k\cdot\log(x)\) — aus hoch wird mal.
- Beispiel:\(\log(5x) = \log(5) + \log(x)\).
- Andere Basen:Die Gesetze gelten für jede zulässige Basis, wenn sie überall gleich ist.
Produkt wird Summe, Quotient wird Differenz, Potenz wird Produkt. Der Logarithmus senkt jede Rechenart um eine Stufe.
Die Produktregel lässt sich als Längenaddition sehen. Stelle zwei Zahlen ein. Die Skala oben ist so gebaut, dass der Abstand von der \(1\) bis zu einer Zahl gerade ihrem Logarithmus entspricht. Verschiebe die beiden Regler.
Die Summe der beiden Laengen ist genauso lang wie die Strecke von 1 bis zum Produkt. log(x): 0,301. log(y): 0,477. log(x) + log(y): 0,778. log(x · y): 0,778.
Die beiden letzten Anzeigefelder zeigen immer denselben Wert — genau das ist die Produktregel.
Logarithmusgesetze: Jede Rechenart wird eine Stufe einfacher; die Gesetze gelten für jede zulässige Basis, wenn sie überall gleich ist.
\(\log(x\cdot y) = \log x + \log y\quad\log\dfrac{x}{y} = \log x - \log y\quad\log\left(x^k\right) = k\cdot\log x\)
Merkhilfe: Aus mal wird plus, aus geteilt wird minus, aus hoch wird mal.
Sonderfall und Schreibweisen
Zwei Basen kommen so oft vor, dass es für sie Kurzschreibweisen gibt.
- Sonderfall:\(\log_x(x) = 1\), denn \(x^1 = x\).
- Zehnerlogarithmus:\(\log_{10}\) schreibt man kurz \(\log\).
- Natürlicher Logarithmus:\(\log_e\) schreibt man kurz \(\ln\).
Kurzschreibweisen: \(\log = \log_{10}\), \(\ln = \log_e\), \(\log_a(a) = 1\)
Namen: \(\log\) heißt Zehnerlogarithmus, \(\ln\) natürlicher Logarithmus; \(\log_a(a)=1\), denn \(a^1=a\).
Allgemeine Hinweise
Argument positiv
Die Zahl in der Klammer muss größer als \(0\) sein. Der Logarithmus selbst darf negativ werden.
Keine Summenregel
\(\log(x+y)\) lässt sich nicht zerlegen. Die Gesetze gelten nur für Produkte, Quotienten und Potenzen.
Rückwärts prüfen
Setze dein Ergebnis als Exponent ein. Aus \(\log_2(8) = 3\) folgt die Probe \(2^3 = 8\).