Die Form ax + by = c
Jetzt kommen zwei Unbekannte gleichzeitig vor: \(x\) und \(y\). Eine Gleichung mit diesem Bauplan heißt lineare Gleichung mit zwei Variablen.
Die Buchstaben \(a\), \(b\) und \(c\) stehen für feste Zahlen, \(x\) und \(y\) für die gesuchten. Erst wenn beide Variablen einen Wert bekommen, lässt sich prüfen, ob die Gleichung stimmt.
- \(a\) und \(b\):Koeffizienten — feste reelle Zahlen vor \(x\) und \(y\).
- \(c\):Konstante auf der rechten Seite.
- \(x\) und \(y\):die beiden Variablen, für die du Zahlen einsetzt.
- Lösungspaar:ein Zahlenpaar \((x\,|\,y)\), das beim Einsetzen eine wahre Aussage ergibt.
- Lösungsmenge \(L\):alle Lösungspaare zusammen.
- Nicht linear:sobald \(x^2\), \(x\cdot y\) oder \(\frac{1}{y}\) vorkommt.
Lineare Gleichung mit zwei Variablen: \(a\cdot x + b\cdot y = c\) mit \(a,\,b,\,c\in\mathbb{R}\)
Koeffizienten: \(a\) und \(b\) sind feste Zahlen vor \(x\) und \(y\), \(c\) ist die Konstante.
Lösungspaar: Ein Paar \((x\,|\,y)\), das eine wahre Aussage ergibt; alle Lösungspaare bilden die Lösungsmenge \(L\).
Nicht linear: sobald \(x^2\), \(x\cdot y\) oder \(\frac{1}{y}\) vorkommt.
Das Beispiel 2x − 4y = 8
Hier ist \(a = 2\), \(b = -4\) und \(c = 8\). Ob ein Paar zur Lösungsmenge gehört, entscheidet die Probe.
- Minuszeichen:gehört zum Koeffizienten: \(2x - 4y = 2x + (-4)\cdot y\).
- Probe:beide Zahlen einsetzen, linke Seite ausrechnen, mit \(c\) vergleichen.
- Beispiel:\((8\,|\,2)\): \(2\cdot8 - 4\cdot2 = 16 - 8 = 8\) — wahr.
- Weitere Paare:\((10\,|\,3)\) und \((6\,|\,1)\) erfüllen die Gleichung ebenfalls.
- Nur als Paar:ein einzelner \(x\)-Wert wie \(8\) löst die Gleichung weder noch nicht.
Setze selbst Paare ein. Gefundene Lösungspaare bleiben als grüne Punkte stehen. Verschiebe den orangefarbenen Prüfpunkt mit der Maus oder dem Finger; die beiden Regler tun dasselbe. Sobald die linke Seite den Wert 8 ergibt, wird der Punkt grün und bleibt gespeichert.
Bedienung mit der Tastatur: mit der Tabulatortaste den Prüfpunkt auswählen und mit den Pfeiltasten bewegen.
Einsetzen ergibt 2 · 8 − 4 · 2 = 8. Die Gleichung ist erfüllt, (8 | 2) gehört zur Lösungsmenge. x-Wert: 8. y-Wert: 2. 2x − 4y: 8. Ergebnis: Lösungspaar. gefundene Paare: 1.
Die grünen Punkte reihen sich regelmäßig auf — zu jedem \(y\)-Wert passt genau ein \(x\)-Wert.
Lösungspaar: \((x\,|\,y)\) mit \(a\cdot x + b\cdot y = c\) wahr
Probe: Beide Zahlen einsetzen, linke Seite ausrechnen, mit \(c\) vergleichen.
Nur als Paar: Ein einzelner \(x\)-Wert ist keine Lösung.
Vorzeichen: Das Minuszeichen gehört zum Koeffizienten.
Warum es unendlich viele Lösungen gibt
Stellst du die Gleichung nach \(x\) um, kannst du \(y\) frei wählen. Der passende \(x\)-Wert ergibt sich dann von selbst.
- Herleitung:\(2x - 4y = 8\)
- \(+\,4y\):\(2x = 8 + 4y\)
- \(:\,2\):\(x = 4 + 2y\)
- Beispiel:\(y = 0\) liefert \((4\,|\,0)\), \(y = -1\) liefert \((2\,|\,{-1})\).
- Folgerung:unendlich viele \(y\)-Werte, also unendlich viele Lösungspaare.
- Graph:alle Lösungspaare liegen auf einer Geraden.
Jedes Lösungspaar ist ein Punkt. Grün markiert sind die drei Paare aus der Mitschrift. Die Reihe bricht an keiner Stelle ab, und zwischen den ganzen Zahlen liegen noch die gebrochenen.
Lösungsmenge: eine lineare Gleichung mit zwei Variablen hat unendlich viele Lösungspaare
Grund: Nach \(x\) umgestellt, ist \(y\) frei wählbar; der passende \(x\)-Wert ergibt sich von selbst.
Graph: Alle Lösungspaare liegen auf einer Geraden.
Allgemeine Hinweise
Reihenfolge im Paar
Im Paar steht immer zuerst \(x\), dann \(y\). \((8\,|\,2)\) ist eine Lösung, \((2\,|\,8)\) nicht.
Vorzeichen mitnehmen
Bei \(2x - 4y = 8\) ist \(b = -4\). Setzt du negative \(y\)-Werte ein, setze Klammern.
Eine zweite Gleichung
Ein einziges Lösungspaar bekommst du erst mit einer zweiten Gleichung. Das führt zu linearen Gleichungssystemen.