Was ein Gleichungssystem ist
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mindestens zwei linearen Gleichungen. Gesucht ist das Zahlenpaar, das alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt.
- Nummerierung:die Gleichungen heißen I, II, … (römische Ziffern).
- Allgemeine Form:\(\text{I: } ax+by=c\) und \(\text{II: } dx+ey=f\) mit festen Zahlen \(a\) bis \(f\).
- Einzeln:jede Gleichung für sich hat unendlich viele Lösungspaare.
- Gemeinsam:nur ein Paar passt in beide Gleichungen.
- Beispiel:\(\text{I: } x+3y=10\) und \(\text{II: } 2x+5y=24\) haben die Lösung \((22\,|\,-4)\).
Jede Gleichung für sich hat unendlich viele Lösungspaare, hier sind je fünf davon aufgelistet. Nur das Paar (22 | −4) steht in beiden Listen und ist damit die Lösung des Systems.
Lösung eines LGS: das Zahlenpaar \((x\,|\,y)\), das alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt
LGS: Mindestens zwei lineare Gleichungen, nummeriert mit I, II, …; allgemein \(\text{I: } ax+by=c\) und \(\text{II: } dx+ey=f\).
Lösungspaare: Jede Gleichung allein hat unendlich viele, gemeinsam passt nur ein Paar.
Drei Wege zur Lösung
Alle drei Rechenverfahren machen aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen eine Gleichung mit nur einer Variablen. Nur der Handgriff ist verschieden.
- Einsetzen:eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und den Term in die andere Gleichung einsetzen.
- Günstig, wenn:vor einer Variablen \(1\) oder \(-1\) steht oder eine Gleichung schon aufgelöst ist.
- Gleichsetzen:beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und die Terme gleichsetzen.
- Günstig, wenn:beide Gleichungen schon die Form \(y=\ldots\) haben, etwa zwei Geraden.
- Addieren:eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren und beide addieren, sodass eine Variable wegfällt.
- Günstig, wenn:beide Gleichungen sortiert als \(ax+by=c\) dastehen und vor keiner Variablen eine \(1\) steht.
- Rechner:bei drei und mehr Variablen, Parametern oder krummen Zahlen lösen GTR oder CAS das System.
Ziel aller Verfahren: aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen wird eine Gleichung mit einer Variablen
Einsetzen: Eine Gleichung auflösen, den Term in die andere einsetzen; günstig bei \(1\) oder \(-1\) vor einer Variablen.
Gleichsetzen: Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen, die Terme gleichsetzen; günstig bei \(y=\ldots\).
Addieren: Eine Gleichung multiplizieren und addieren, sodass eine Variable wegfällt; günstig bei \(ax+by=c\) ohne \(1\). Bei drei und mehr Variablen oder Parametern lösen GTR oder CAS.
Wähle eines der sechs Systeme und lies ab, welches Verfahren am kürzesten ist und woran du das erkennst. Sechs Systeme, sechs Formen. Die Schaltflächen wechseln das System; die Grafik nennt das empfohlene Verfahren, die Form, an der man es erkennt, und den ersten Rechenschritt.
Bedienung mit der Tastatur: Die Grafik ist mit der Tabulatortaste erreichbar; Pfeil links und rechts blättern durch die Systeme, Pos1 springt zum ersten zurück.
Gleichung I steht bereits in der Form y = …, deshalb ist das Einsetzungsverfahren hier der kürzeste Weg: Der Term 2x − 1 wandert ohne jede Umformung in Gleichung II, dort bleibt nur noch x übrig. Die Lösung ist (2 | 3). Gleichungen: 2. Variablen: 2. Empfehlung: Einsetzen. Rechenart: Hand.
Der Lotse gibt eine Empfehlung, kein Verbot: Jedes der sechs Systeme mit zwei Variablen lässt sich auch mit jedem anderen der drei Verfahren lösen. Nur bei drei Variablen und bei durchweg krummen Zahlen ist der Rechner tatsächlich der einzige zumutbare Weg.
Wie viele Lösungen?
Beim Rechnen kann eine Zeile ganz ohne Variable entstehen. Diese Zeile entscheidet über die Lösungsmenge.
- Genau eine Lösung:es bleibt eine Gleichung mit einer Variablen.
- Keine Lösung:es bleibt eine falsche Aussage wie \(0=2\), z. B. bei \(2y-x=2\) und \(2y-x=4\); dann ist \(L=\{\ \}\).
- Unendlich viele:es bleibt eine wahre Aussage wie \(0=0\), z. B. bei \(2y-x=2\) und \(4y-2x=4\).
- Vorab erkennen:ist die linke Seite von II kein Vielfaches der linken Seite von I, gibt es genau eine Lösung.
- Vielfaches:passt der Faktor auch rechts, gibt es unendlich viele Lösungen, sonst keine.
Anzahl der Lösungen: Gleichung mit einer Variablen \(\Rightarrow\) genau eine; falsche Aussage \(\Rightarrow\) keine; wahre Aussage \(\Rightarrow\) unendlich viele
Vorab erkennen: Ist die linke Seite von II kein Vielfaches der linken Seite von I, gibt es genau eine Lösung. Passt der Faktor auch rechts, gibt es unendlich viele, sonst keine.
Die grafische Deutung
Nach \(y\) aufgelöst beschreibt jede lineare Gleichung eine Gerade. Die Lösungen des Systems liegen auf beiden Geraden.
- Schneidend:verschiedene Steigungen, genau ein gemeinsamer Punkt: genau eine Lösung.
- Parallel:gleiche Steigung, verschiedener \(y\)-Achsenabschnitt: keine Lösung.
- Identisch:gleiche Steigung und gleicher Achsenabschnitt: unendlich viele Lösungen.
Blau ist jeweils die Gerade zur ersten Gleichung, orange die zur zweiten. Ein Schnittpunkt bedeutet genau eine Lösung, kein Schnittpunkt keine Lösung, und zwei aufeinanderliegende Geraden bedeuten unendlich viele Lösungen.
Verschiebe und kippe die zweite Gerade. Beobachte, wann aus einem Schnittpunkt keiner und wann unendlich viele werden. Die blaue Gerade gehört zur ersten Gleichung \(0{,}5x+1=y\) und bleibt fest. Für die orange Gerade der zweiten Gleichung lassen sich Steigung und y-Achsenabschnitt mit den beiden Reglern einstellen. Die drei Schaltflächen stellen die drei Fälle aus der Mitschrift ein.
Bedienung mit der Tastatur: Die Regler sind mit der Tabulatortaste erreichbar und lassen sich mit den Pfeiltasten verstellen.
Die Steigungen sind verschieden, deshalb schneiden sich die Geraden genau einmal. Die Lösung des Gleichungssystems ist (2 | 2). gemeinsamer Punkt: (2 | 2). Anzahl Lösungen: genau eine Lösung.
Die Steigung entscheidet zuerst: Solange sie sich unterscheidet, gibt es immer genau einen Schnittpunkt. Erst bei gleicher Steigung kommt es auf den y-Achsenabschnitt an — und nur dieser eine Wert trennt „keine Lösung“ von „unendlich vielen“.
Grafisch: Lösung des LGS \(=\) Schnittpunkt der beiden Geraden
Schneidend: verschiedene Steigungen, genau eine Lösung.
Parallel: gleiche Steigung, verschiedener \(y\)-Achsenabschnitt, keine Lösung.
Identisch: gleiche Steigung und gleicher Achsenabschnitt, unendlich viele Lösungen.
Allgemeine Hinweise
Immer ein Paar
Ein einzelner Wert wie \(y=1\) ist noch keine Lösung. Gib immer \(L=\{(x\,|\,y)\}\) an, mit \(x\) vorn.
Erst die Form ansehen
Schau vor dem Rechnen auf die Koeffizienten. Das passende Verfahren spart viele Zeilen.
0 = 2 ist kein Fehler
Fallen alle Variablen weg, hast du nicht falsch gerechnet. Die übrige Aussage zeigt, ob es keine oder unendlich viele Lösungen gibt.
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