Der Aufbau des Koordinatensystems
Das Koordinatensystem ist die Zeichenfläche für Graphen: zwei Achsen, die sich rechtwinklig schneiden.
Die waagerechte Achse ist die \(x\)-Achse, die senkrechte die \(y\)-Achse. Zu einer vollständigen Achse gehören immer Pfeilspitze, Beschriftung und Skalierung.
- \(x\)-Achse:waagerecht, Pfeilspitze rechts, beschriftet mit \(x\).
- \(y\)-Achse:senkrecht, Pfeilspitze oben, beschriftet mit \(y\).
- Skalierung:Striche mit Zahlen auf beiden Achsen, z. B. 1 Kästchen = 1 Einheit.
- Ursprung:Schnittpunkt der Achsen, dort gilt \(x = 0\) und \(y = 0\).
Jede Achse: Pfeilspitze + Beschriftung + Skalierung
Achsen: Die \(x\)-Achse ist waagerecht, die \(y\)-Achse senkrecht; sie schneiden sich rechtwinklig.
Ursprung: Schnittpunkt der Achsen, dort gilt \(x = 0\) und \(y = 0\).
Punkte ablesen und eintragen
Ein Punkt wird durch zwei Zahlen festgelegt: zuerst die \(x\)-Koordinate, dann die \(y\)-Koordinate.
Die gestrichelten Hilfslinien zeigen, an welchen Stellen der Achsen die beiden Koordinaten abgelesen werden. Zuerst kommt immer die \(x\)-Koordinate, danach die \(y\)-Koordinate.
- Schreibweise:\(P(x\,|\,y)\), z. B. \((0\,|\,2)\).
- Eintragen:bei \(x\) starten, senkrecht bis zur Höhe \(y\) gehen, Kreuz setzen.
- Ablesen:vom Kreuz senkrecht zur \(x\)-Achse und waagerecht zur \(y\)-Achse gehen.
- Auf der \(y\)-Achse:Punkte mit \(x = 0\), z. B. \((0\,|\,2)\).
- Auf der \(x\)-Achse:Punkte mit \(y = 0\), z. B. \((-2\,|\,0)\).
Verschiebe das Kreuz: Bei welchen Punkten passt der \(y\)-Wert genau zu \(f(x)=x+2\)? Ziehe das Kreuz mit der Maus oder dem Finger; die Regler darunter tun dasselbe.
Bedienung mit der Tastatur: mit der Tabulatortaste das Kreuz auswählen und mit den Pfeiltasten verschieben; Enter blendet die Gerade ein und aus.
f(1) = 1 + 2 = 3. Der Punkt (1 | 3) liegt auf dem Graphen von f. x-Koordinate: 1. y-Koordinate: 3. f(x) = x + 2: 3.
Alle Punkte mit \(y = x+2\) liegen auf derselben Geraden.
Punkt: \(P(x\,|\,y)\) — erst \(x\), dann \(y\)
Eintragen: Bei \(x\) starten, senkrecht bis zur Höhe \(y\) gehen, Kreuz setzen.
Auf den Achsen: Punkte auf der \(y\)-Achse haben \(x = 0\), Punkte auf der \(x\)-Achse haben \(y = 0\).
Den Graphen von \(f(x)=x+2\) zeichnen
Einen Graphen zeichnest du in drei Schritten.
- Schritt 1:Koordinatensystem mit Pfeilspitzen, Beschriftung und Skalierung zeichnen.
- Schritt 2:Punkte berechnen: \(f(0) = 2\), \(f(-2) = 0\), \(f(-4) = -2\).
- Schritt 3:\((0\,|\,2)\), \((-2\,|\,0)\), \((-4\,|\,{-2})\) eintragen, verbinden, mit \(f(x)\) beschriften.
- Anzahl:mindestens 3 bis 5 Punkte, je nach Funktion.
- Steigung:pro Schritt nach rechts \(1\) nach oben, also \(m = 1\).
- \(y\)-Achsenabschnitt:die Gerade schneidet die \(y\)-Achse bei \(b = 2\).
Erst das leere Koordinatensystem, dann die berechneten Punkte, zuletzt die Gerade durch die Punkte. Der fertige Graph wird am Ende mit \(f(x)\) beschriftet.
Graph zeichnen: Achsen \(\rightarrow\) Punkte berechnen und eintragen \(\rightarrow\) verbinden und beschriften
Anzahl: Mindestens 3 bis 5 Punkte, je nach Funktion.
Lineare Funktion: Die Steigung \(m\) gibt an, wie viel der Graph pro Schritt nach rechts nach oben geht; der \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) ist der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.
Allgemeine Hinweise
Nicht vertauschen
\((2\,|\,0)\) und \((0\,|\,2)\) sind verschiedene Punkte. Die \(x\)-Koordinate steht immer vorne.
Gleichmäßig skalieren
Die Abstände zwischen den Zahlen auf einer Achse müssen gleich groß sein. Sonst wird die Gerade krumm.
Wertetabelle nutzen
Schreibe die berechneten Punkte zuerst in eine Tabelle. Dann trägst du sie schneller und sicherer ein.