Die Idee: zweimal dasselbe
Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. Weil links zweimal dasselbe steht, müssen auch die rechten Seiten gleich sein.
- Voraussetzung:beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst, also beide nach \(x\) oder beide nach \(y\).
- Normalform:\(\text{I: } y=m_1x+b_1\) und \(\text{II: } y=m_2x+b_2\).
- Gleichsetzen:\(m_1x+b_1=m_2x+b_2\) enthält nur noch \(x\).
- Grafisch:die Lösung \((x\,|\,y)\) ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.
- Sonderfall:bei gleichen Steigungen gibt es keinen Schnittpunkt, also keine oder unendlich viele Lösungen.
Die Gerade \(g\) hat an der Stelle \(x\) die Höhe \(0{,}5x+1\), die Gerade \(h\) die Höhe \(-2x+6\). Gesucht ist die Stelle, an der beide Höhen übereinstimmen — deshalb werden die beiden Terme gleichgesetzt.
Gleichsetzungsverfahren: Aus \(y=m_1x+b_1\) und \(y=m_2x+b_2\) folgt \(m_1x+b_1=m_2x+b_2\).
Voraussetzung: Beide Gleichungen sind nach derselben Variablen aufgelöst; die Gleichung enthält dann nur noch eine Variable.
Grafisch: Die Lösung ist der Schnittpunkt der Geraden; bei gleicher Steigung gibt es keinen Schnittpunkt, also keine oder unendlich viele Lösungen.
Schritt für Schritt
Das Verfahren läuft in drei Schritten ab: auflösen, gleichsetzen, zurücksetzen.
Beide Gleichungen werden nach \(x\) aufgelöst. Weil beide Male dieselbe Zahl \(x\) gemeint ist, dürfen die rechten Seiten gleichgesetzt werden.
Stehen beide Gleichungen schon in Normalform, entfällt das Auflösen.
Ablauf: nach derselben Variablen auflösen \(\rightarrow\) rechte Seiten gleichsetzen \(\rightarrow\) lösen \(\rightarrow\) zurücksetzen
Vorzeichen: Beim Hinüberbringen eines Terms wechselt das Vorzeichen.
Normalform: Stehen beide Gleichungen schon nach derselben Variablen aufgelöst da, entfällt das Auflösen.
Lösung: als Paar angeben, Probe in beiden Gleichungen.
Die Schnittpunkt-Werkstatt
Zwei Geraden in Normalform haben vier Zahlen: \(m_1\), \(b_1\), \(m_2\) und \(b_2\). Die Werkstatt zeigt zu jeder Einstellung die Gleichsetzungsgleichung und den Schnittpunkt.
Verschiebe die vier Regler. Beobachte, wann eine Lösung entsteht, wann keine und wann unendlich viele. Jeder Regler verändert eine Zahl der beiden Geradengleichungen. Oben im Bild entsteht daraus die Gleichsetzungsgleichung \(m_1x+b_1=m_2x+b_2\), darunter zeigt das Koordinatensystem beide Geraden.
Bedienung mit der Tastatur: Alle Regler sind mit der Tabulatortaste erreichbar und lassen sich mit den Pfeiltasten in Schritten von 0,5 verstellen.
Die Steigungen 1,5 und −0,5 sind verschieden. Aus 1,5x − 1 = −0,5x + 3 folgt 2x = 4, also x = 2 und y = 2. Gerade I: y = 1,5x − 1. Gerade II: y = −0,5x + 3. Steigungen: 1,5 und −0,5. Lösung x: 2. Lösung y: 2.
Entscheidend ist allein der Vergleich der Steigungen: Sind \(m_1\) und \(m_2\) verschieden, hat die Gleichsetzungsgleichung genau eine Lösung. Sind sie gleich, fällt \(x\) beim Umformen weg — übrig bleibt entweder eine falsche Aussage wie \(2=5\) (keine Lösung, die Geraden sind parallel) oder eine wahre Aussage wie \(2=2\) (unendlich viele Lösungen, die Geraden liegen aufeinander).
- Verschiedene Steigungen:genau eine Lösung.
- Gleiche Steigung:\(x\) fällt weg; eine falsche Aussage wie \(2=5\) heißt \(L=\{\ \}\).
- Gleiche Gerade:eine wahre Aussage wie \(2=2\) heißt unendlich viele Lösungen.
Genau eine Lösung: nur wenn \(m_1\neq m_2\)
Gleiche Steigung: \(x\) fällt weg; eine falsche Aussage wie \(2=5\) bedeutet keine Lösung, \(L=\{\ \}\) (parallele Geraden).
Gleiche Gerade: Eine wahre Aussage wie \(2=2\) bedeutet unendlich viele Lösungen.
Wann Gleichsetzen?
Gleichsetzen ist nicht immer der kürzeste Weg. Ein Blick auf die Form des Systems entscheidet.
- Ideal:beide Gleichungen sind nach derselben Variablen aufgelöst, z. B. \(y=2x+1\) und \(y=-x+7\).
- Gut:vor derselben Variablen steht in beiden Gleichungen \(1\) oder \(-1\).
- Sachaufgaben:Tarife, Kosten und Weg-Zeit-Gesetze stehen meist schon als \(y=\ldots\) da.
- Auch erlaubt:\(x=3-y\) und \(x=-18+20y\) darfst du genauso gleichsetzen.
- Eher Einsetzen:wenn nur eine Gleichung aufgelöst ist, z. B. \(y=3x-1\) und \(2x+5y=8\).
- Eher Addieren:wenn vor allen Variablen Zahlen ungleich \(1\) stehen, z. B. \(3x+4y=-6\) und \(5x-2y=8\).
Faustregel: Beide Gleichungen sind nach derselben Variablen aufgelöst (oder vor ihr steht in beiden \(1\) oder \(-1\)) \(\Rightarrow\) Gleichsetzen.
Sachaufgaben: Tarife, Kosten und Weg-Zeit-Gesetze stehen meist schon als \(y=\ldots\) da.
Besser anders: Ist nur eine Gleichung aufgelöst, eher Einsetzen; stehen vor allen Variablen Zahlen ungleich \(1\), eher Addieren.
Allgemeine Hinweise
Nicht zu früh aufhören
Das Gleichsetzen liefert nur eine der beiden Zahlen. Setze sie zurück und gib das Paar an, z. B. \(L=\{(2\,|\,5)\}\).
Gleiche Variable links
Gleichsetzen darfst du nur, wenn links zweimal dieselbe Variable steht. \(x=3-y\) und \(y=\frac{x+18}{20}\) passen nicht zusammen.
Kontrolle geschenkt
Setze \(x\) in beide aufgelösten Gleichungen ein. Kommt zweimal derselbe Wert heraus, stimmt die Rechnung.
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