Der Funktionsbegriff
Eine Funktion ist eine Zuordnung mit einer strengen Bedingung: Zu jedem \(x\) gehört genau ein Ergebnis.
- Zuordnung:Vorschrift, die von einer Zahl zu einer anderen führt.
- x-Wert:die Zahl, die du einsetzt.
- Funktionswert \(f(x)\):das Ergebnis, gelesen „f von x“.
- eindeutig:zu jedem \(x\) genau ein \(f(x)\) — dann ist es eine Funktion.
- nicht eindeutig:ein \(x\) hat zwei Ergebnisse — dann ist es keine Funktion.
Links startet an jedem Ausgangswert genau ein Pfeil, das ist eine Funktion. Rechts gehen von der 4 zwei Pfeile weg. Zwei Pfeile von derselben Zahl weg sind verboten, zwei Pfeile auf dieselbe Zahl hin sind erlaubt.
Verschiebe die fünf Punkte und ziehe die orange Prüfgerade durch das Koordinatensystem. Ziehe die Punkte mit der Maus oder dem Finger; sie rasten auf ganzen Zahlen ein.
Bedienung mit der Tastatur: mit der Tabulatortaste einen Punkt auswählen und mit den Pfeiltasten verschieben.
Keine senkrechte Gerade trifft zwei Punkte. Jedem x gehört genau ein y — die Zuordnung ist eine Funktion. Prüfgerade bei x: 0. getroffene Punkte: 1. Zuordnung: eindeutig.
Trifft die senkrechte Prüfgerade zwei Punkte, gibt es zu einem \(x\) zwei Funktionswerte.
Funktion: \(f\) ordnet jedem \(x\) genau ein \(y = f(x)\) zu.
Funktionswert: \(f(x)\), gelesen „f von x“, ist das Ergebnis für den eingesetzten \(x\)-Wert.
Eindeutig: Hat ein \(x\) zwei Ergebnisse, ist die Zuordnung keine Funktion; eine senkrechte Gerade darf den Graphen höchstens einmal treffen.
Die vier Darstellungsformen
Dieselbe Funktion lässt sich auf vier Arten darstellen. Beispiel: \(f(x) = x+2\).
Situation, Funktionsgleichung, Wertetabelle und Graph beschreiben alle die Zuordnung \(x \longmapsto x+2\). Wer eine Form kennt, kann alle anderen daraus gewinnen.
- Situation:beschreibt die Zuordnung in Worten — gut zum Verstehen, zum Rechnen zu ungenau.
- Funktionsgleichung:\(f(x) = x+2\) — liefert zu jedem \(x\) den Funktionswert.
- Wertetabelle:einzelne Wertepaare, z. B. \(x = 1\) gibt \(f(1) = 3\).
- Graph:alle Punkte \(P(x\,|\,f(x))\), z. B. \(P(1\,|\,3)\).
- Schreibweisen:\(f: x\longmapsto x+2\), \(f(x) = x+2\) oder \(y = x+2\).
Graph: \(G_f\) = alle Punkte \(P(x\,|\,f(x))\)
Vier Darstellungen: Situation (in Worten), Funktionsgleichung, Wertetabelle und Graph beschreiben dieselbe Funktion.
Gleichung und Tabelle: Die Gleichung liefert zu jedem \(x\) den Funktionswert; die Wertetabelle zeigt einzelne Wertepaare.
Schreibweisen: \(f: x\longmapsto x+2\), \(f(x) = x+2\) oder \(y = x+2\).
Zwischen den Darstellungen wechseln
Ein Fahrradverleih verlangt 5 € Grundgebühr und 2 € pro Stunde. So wird daraus ein Graph.
- Variable wählen:\(x\) = Anzahl der Stunden.
- Gleichung:\(f(x) = 2x + 5\) — 5 € einmal, 2 € je Stunde.
- Wertetabelle:\(f(0) = 5\), \(f(1) = 7\), \(f(2) = 9\), \(f(3) = 11\).
- Graph:Punkte eintragen und verbinden; er beginnt bei 5 € und steigt je Stunde um 2 €.
- Beispiel:\(f(4) = 2\cdot4 + 5 = 13\) — vier Stunden kosten 13 €.
Der Graph beginnt bei 5 € und steigt je Stunde um 2 €. Bei vier Stunden liest man 13 € ab, genau den Wert aus der Rechnung.
Wechsel: Situation \(\rightarrow\) Gleichung \(\rightarrow\) Wertetabelle \(\rightarrow\) Graph (und rückwärts)
Vorgehen: Variable festlegen, Gleichung aufstellen, Wertepaare berechnen, Punkte eintragen und verbinden.
Allgemeine Hinweise
Pfeile richtig lesen
Zwei Pfeile von derselben Zahl weg sind verboten. Zwei Pfeile auf dieselbe Zahl hin sind erlaubt.
Senkrechten-Test
Lege gedanklich senkrechte Linien über den Graphen. Trifft keine zwei Punkte, liegt eine Funktion vor.
Ablesen im Graphen
Gehe bei \(x\) senkrecht bis zum Graphen. Dann liest du waagerecht an der \(y\)-Achse \(f(x)\) ab.