Die Idee: eine Variable ersetzen
Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf. Den Term setzt du in die andere Gleichung ein – dort bleibt nur noch eine Variable.
- Auflösen:aus \(\text{I: } x+3y=10\) wird \(x=10-3y\).
- Einsetzen:in \(\text{II: } 2x+5y=24\) wird \(x\) durch \((10-3y)\) ersetzt.
- Klammer:der eingesetzte Term steht immer in Klammern: \(2\cdot(10-3y)+5y=24\).
- Rücksetzen:den gefundenen Wert in die aufgelöste Gleichung einsetzen.
- Lösung:das Paar \((x\,|\,y)\), hier \(L=\{(22\,|\,-4)\}\).
Das \(x\) in Gleichung II wird durch den gleichwertigen Ausdruck ersetzt. Der eingesetzte Term steht dabei immer in einer Klammer, weil die \(2\) davor den ganzen Ausdruck treffen muss.
Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen, den Term in die andere einsetzen: \(\text{I: } x=T(y)\) in \(\text{II}\) einsetzen \(\Rightarrow\) Gleichung nur mit \(y\).
Klammer: Der eingesetzte Term steht immer in Klammern.
Rücksetzen: Den gefundenen Wert in die aufgelöste Gleichung einsetzen; die Lösung ist das Paar \((x\,|\,y)\).
Schritt für Schritt durchgerechnet
In Gleichung I steht vor \(x\) eine \(1\). Deshalb löst du I nach \(x\) auf.
In Gleichung I steht \(x\) ohne Zahl davor, deshalb wird I nach \(x\) aufgelöst. Der Ausdruck \(10-3y\) ersetzt in Gleichung II das \(x\), damit dort nur noch \(y\) vorkommt.
Steht vor keiner Variablen eine \(1\), entstehen beim Auflösen Brüche. Das Verfahren funktioniert trotzdem.
Ablauf: auflösen \(\rightarrow\) einsetzen \(\rightarrow\) lösen \(\rightarrow\) zurücksetzen \(\rightarrow\) Probe in I und II
Auflösen: Am besten nach der Variablen, vor der \(1\) steht; sonst entstehen Brüche, das Verfahren funktioniert trotzdem.
Probe: Immer in den ursprünglichen Gleichungen; im Paar steht \(x\) vorn: \(L=\{(x\,|\,y)\}\).
Die Einsetz-Werkstatt
Du hast immer vier Wahlmöglichkeiten: Gleichung I oder II, jeweils nach \(x\) oder nach \(y\) aufgelöst. Alle vier führen zur selben Lösung.
Wähle aus, welche Gleichung du nach welcher Variablen auflöst. Vergleiche, welche Wege ohne Brüche auskommen. Wähle mit den Schaltflächen aus, welche Gleichung nach welcher Variablen aufgelöst wird. Die Grafik zeigt den aufgelösten Term, die Gleichung nach dem Einsetzen und den nächsten Rechenschritt.
Bedienung mit der Tastatur: Die Grafik ist mit der Tabulatortaste erreichbar; Pfeil links und rechts wechseln die Gleichung, Pfeil oben und unten die Variable.
Vor x steht in Gleichung I eine 1. Das Auflösen liefert x = 22 − 4y ganz ohne Nenner — einer der beiden bequemen Wege. Ausmultipliziert entsteht 66 − 12y − y = 14, also y = 4 und danach x = 6. aufgelöst wird: I. nach der Variablen: x. Koeffizient davor: 1. Rechnung: bruchfrei.
Alle vier Wege enden bei derselben Lösung \(L=\{(6\,|\,4)\}\). Bequem sind hier zwei davon: In Gleichung I steht vor \(x\) eine \(1\), in Gleichung II vor \(y\) eine \(-1\). Die beiden übrigen Wege führen über Brüche mit den Nennern \(4\) beziehungsweise \(3\) — richtig sind sie trotzdem.
- Bequem:vor der gewählten Variablen steht \(1\) oder \(-1\).
- Unbequem:sonst entstehen Brüche – das Ergebnis bleibt gleich.
Wahl: Man kann Gleichung I oder II jeweils nach \(x\) oder \(y\) auflösen; alle vier Wege führen zur selben Lösung.
Bequem: Vor der gewählten Variablen steht \(1\) oder \(-1\); sonst entstehen Brüche, das Ergebnis bleibt gleich.
Wann Einsetzen?
Ein Blick auf die Koeffizienten zeigt, ob Einsetzen der kürzeste Weg ist.
- Ideal:eine Gleichung ist schon aufgelöst, z. B. \(y=3x-1\).
- Gut:vor einer Variablen steht \(1\) oder \(-1\), z. B. \(x+4y=22\).
- Eher Gleichsetzen:wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind.
- Eher Addieren:bei Gegenzahlen wie \(+2y\) und \(-2y\) oder wenn vor allen Variablen Zahlen ungleich \(1\) stehen.
Faustregel: Koeffizient \(1\) oder \(-1\) vorhanden \(\Rightarrow\) Einsetzungsverfahren.
Ideal: Eine Gleichung ist schon nach einer Variablen aufgelöst.
Besser anders: Sind beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst, eher Gleichsetzen; bei Gegenzahlen oder Zahlen ungleich \(1\) vor allen Variablen eher Addieren.
Allgemeine Hinweise
Klammer setzen
Aus \(y=9-2x\) in \(3x-2y=-4\) wird \(3x-2\cdot(9-2x)=-4\). Ohne Klammer trifft die \(2\) nur den ersten Summanden.
In die andere Gleichung
Setzt du \(x=10-3y\) wieder in I ein, entsteht nur \(10=10\). Der Term muss immer in die andere Gleichung.
Probe im Original
Prüfe das Paar in den ursprünglichen Gleichungen I und II. In der umgeformten Zeile fällt ein Fehler nicht auf.
Videos
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