Die Übersicht auf einer Seite
Eine Funktion kannst du auf vier Arten aufschreiben. Alle vier beschreiben dieselbe Zuordnung, hier \(f(x)=x+2\).
Vier Spalten, eine Funktion. Von links nach rechts wird die Zuordnung immer konkreter: erst die Vorschrift, dann die Rechnung, dann einzelne Zahlenpaare, zuletzt das Bild.
- Zuordnung:\(f:\; x \longmapsto x+2\) — nennt nur die Vorschrift.
- Funktionsgleichung:\(f(x)=x+2\) — damit rechnest du.
- Wertetabelle:einzelne Wertepaare, hier zu \(x=1\), \(5\) und \(10\).
- Graph:alle Wertepaare als Punkte, hier eine Gerade.
Wähle einen \(x\)-Wert und beobachte, wie sich alle vier Spalten gleichzeitig ändern. Ziehe den Regler oder klicke eine Spalte der Wertetabelle an.
Bedienung mit der Tastatur: Die Spalten der Wertetabelle sind mit der Tabulatortaste erreichbar; Enter oder Leertaste setzt den Wert der Spalte, die Pfeiltasten verändern x um eins.
Zu x = 5 gehört genau ein y = 7. Dieses Wertepaar steht auch in der Wertetabelle des Hefts. x: 5. y = x + 2: 7. Punkt: (5 | 7).
Achte darauf, dass die Wertetabelle nur drei von unendlich vielen Wertepaaren zeigt. Der Punkt wandert auch dann auf der Geraden, wenn er in der Tabelle gar nicht auftaucht.
Darstellungsformen: Zuordnung, Funktionsgleichung, Wertetabelle und Graph beschreiben dieselbe Funktion.
Zuordnung: nennt nur die Vorschrift, z. B. \(f:\; x \longmapsto x+2\).
Funktionsgleichung: \(f(x)=x+2\); damit rechnet man.
Tabelle und Graph: Die Wertetabelle zeigt nur einzelne Wertepaare, der Graph alle als Punkte.
Die Wertetabelle der Übersicht
Du setzt jeden \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung ein. Oben steht \(x\), unten der Funktionswert.
- Einsetzen:\(f(1)=1+2=3\), \(f(5)=5+2=7\), \(f(10)=10+2=12\).
- Wertepaar:untereinander stehende Zahlen gehören zusammen, z. B. \((5\,|\,7)\).
- Ausschnitt:die \(x\)-Werte sind frei gewählt — die Tabelle zeigt nur einige Wertepaare.
Wertetabelle: \(x\) einsetzen \(\;\rightarrow\; y=f(x)\;\rightarrow\;\) Wertepaar \((x\,|\,y)\)
Aufbau: Oben stehen die \(x\)-Werte, unten die Funktionswerte; untereinander stehende Zahlen gehören zusammen.
Ausschnitt: Die \(x\)-Werte sind frei gewählt, die Tabelle zeigt nur einige Wertepaare.
Der Graph der Übersicht
Im Graphen stehen die Wertepaare als Punkte. Die Gerade durch sie zeigt alle übrigen Wertepaare.
Die fünf Kreuze sind die eingetragenen Wertepaare, die rote Linie verbindet sie. Der Graph zeigt auf einen Blick, was in der Tabelle nur stückweise steht.
- Punkte:\((-2\,|\,0)\), \((-1\,|\,1)\), \((0\,|\,2)\), \((1\,|\,3)\), \((2\,|\,4)\).
- Eintragen:erst \(x\) nach rechts, dann \(y\) nach oben abtragen.
- Gerade:steht für alle Wertepaare zwischen und außerhalb der Punkte.
- y-Achse:die Gerade schneidet sie bei \((0\,|\,2)\).
Graph: alle Punkte \((x\,|\,f(x))\) im Koordinatensystem
Eintragen: Erst \(x\) nach rechts, dann \(y\) nach oben abtragen.
Gerade: Die Gerade durch die Punkte steht für alle Wertepaare, auch zwischen und außerhalb der berechneten Punkte.
Allgemeine Hinweise
Eine Funktion
Tabelle, Gleichung und Graph sind keine drei Funktionen. Sie zeigen dieselbe Zuordnung.
Erst x, dann y
Im Wertepaar \((x\,|\,y)\) steht der eingesetzte Wert vorn. Vertauscht landest du am falschen Punkt.
Richtige Form wählen
Für genaue Werte rechnest du mit \(f(x)\). Den Verlauf siehst du am schnellsten am Graphen.