Symmetrie sehen
Oft wiederholt eine Hälfte des Graphen die andere. Du prüfst das an einem Punkt \(P\) und seinem Bildpunkt \(P'\).
- Spiegeln an der y-Achse:aus \(P(x\mid y)\) wird \(P'(-x\mid y)\).
- Spiegeln am Ursprung:aus \(P(x\mid y)\) wird \(P'(-x\mid -y)\), das ist eine Drehung um 180°.
- Test:liegt \(P'\) für jede Stelle \(x\) wieder auf dem Graphen, ist er symmetrisch.
Links bleibt die Höhe erhalten, nur die Seite wechselt: aus \(P(x\mid y)\) wird \(P'(-x\mid y)\). Rechts kippen beide Koordinaten: aus \(P(x\mid y)\) wird \(P'(-x\mid -y)\). Genau diese beiden Bilder stecken hinter den Gleichungen \(f(-x)=f(x)\) und \(f(-x)=-f(x)\).
Wähle eine Funktion, schiebe \(P\) am Graphen entlang (Regler oder Klick ins Bild) und blende den Bildpunkt ein.
Der Graph ist anklickbar: Ein Klick ins Bild setzt P an die nächste Stelle. Mit Tab auf das Bild springen, dann mit Pfeil links und rechts wandern, mit Pos1 zurück zu x gleich 0.
Schalte eine Spiegelung ein.
Halte fest: Ein einzelner Punkt beweist nichts. Erst die Rechnung mit \(f(-x)\) zeigt Symmetrie für alle \(x\).
Symmetrie: Eine Hälfte des Graphen wiederholt die andere, geprüft an einem Punkt \(P\) und seinem Bildpunkt \(P'\).
y-Achse: Aus \(P(x\mid y)\) wird \(P'(-x\mid y)\).
Ursprung: Aus \(P(x\mid y)\) wird \(P'(-x\mid -y)\), eine Drehung um \(180^\circ\).
Nachweis: Ein einzelner Punkt beweist nichts; erst die Rechnung mit \(f(-x)\) gilt für alle \(x\).
Achsensymmetrie zur y-Achse
Der Bildpunkt behält seine Höhe. Also muss \(f\) an der Stelle \(-x\) denselben Wert haben wie an der Stelle \(x\).
- Einsetzen:\((-x)^{n}=(-1)^{n}\cdot x^{n}\).
- Gerades \(n\):\((-1)^{n}=1\), also \((-x)^{n}=x^{n}\), z. B. \((-x)^{4}=x^{4}\).
- Absolutglied:\(a_{0}=a_{0}x^{0}\) trägt den geraden Exponenten 0.
- Beispiel:\(f(-x)=3(-x)^{4}-(-x)^{2}+2=3x^{4}-x^{2}+2=f(x)\).
Der ganze Trick steckt in \((-1)^n\): Bei geradem \(n\) heben sich die Minuszeichen paarweise auf, bei ungeradem \(n\) bleibt genau eines übrig. Deshalb bleibt ein Summand mit geradem Exponenten unverändert und ein Summand mit ungeradem Exponenten kehrt sein Vorzeichen um.
Achsensymmetrie zur y-Achse: \(f(-x)=f(x)\) für alle \(x\) – nur gerade Exponenten
Begründung: Für gerades \(n\) gilt \((-x)^{n}=x^{n}\).
Absolutglied: \(a_{0}=a_{0}x^{0}\) trägt den geraden Exponenten 0.
Punktsymmetrie zum Ursprung
Beide Koordinaten wechseln das Vorzeichen. Also muss \(f\) an der Stelle \(-x\) den Gegenwert liefern.
- Ungerades \(n\):\((-1)^{n}=-1\), also \((-x)^{n}=-x^{n}\).
- Beispiel:\(f(-x)=2(-x)^{3}-(-x)=-2x^{3}+x=-(2x^{3}-x)=-f(x)\).
- Minus ausklammern:erst so siehst du in der Klammer wieder \(f(x)\).
- Durch den Ursprung:aus \(f(0)=-f(0)\) folgt \(f(0)=0\).
Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(-x)=-f(x)\) für alle \(x\) – nur ungerade Exponenten
Begründung: Für ungerades \(n\) gilt \((-x)^{n}=-x^{n}\); das Minus wird ausgeklammert, bis \(f(x)\) wieder in der Klammer steht.
Ursprung: Aus \(f(0)=-f(0)\) folgt \(f(0)=0\).
Schalte fünf Summanden einzeln zu oder ab; oben links steht der zusammengesetzte Term. Achte darauf, welche Kombinationen symmetrisch sind.
Aktive Exponenten: 2 und 0 — beide gerade.
Halte fest: Es zählt nur, ob alle Exponenten gerade oder alle ungerade sind. Der Summand „+1“ trägt den geraden Exponenten 0.
Der Nachweis in drei Schritten
Graph und Exponenten liefern eine Vermutung. Erst die Rechnung mit \(f(-x)\) ist der Nachweis.
Die Schritte a) und b) liefern nur eine Vermutung — gültig ist erst Schritt c). Deshalb steht in jeder sauberen Lösung am Ende die Rechnung mit \(f(-x)\).
- a) Graph ansehen:Vermutung durch Falten an der y-Achse oder halbe Drehung.
- b) Exponenten prüfen:alle gerade, alle ungerade oder gemischt?
- c) Rechnen:\(f(-x)\) bilden, vereinfachen und mit \(f(x)\) und \(-f(x)\) vergleichen.
- Gemischt:\(f(x)=-x^{4}+4x^{3}\): \(f(-x)=-x^{4}-4x^{3}\) ist weder \(f(x)\) noch \(-f(x)\).
- Absolutglied:\(g(x)=x^{3}+1\): \(g(-x)=-x^{3}+1\neq-g(x)\), also keine Punktsymmetrie.
Der Exponent 3 ist ungerade — trotzdem ist \(g(x)=x^{3}+1\) nicht punktsymmetrisch. Das Absolutglied \(1\) ist nämlich \(1\cdot x^{0}\), also ein Summand mit geradem Exponenten. Er hebt den Graphen aus dem Ursprung heraus: Das Drehbild \(P'(-1\mid -2)\) liegt neben der Kurve, denn dort gilt \(g(-1)=0\).
| Symmetrieart | Bedingung | Exponenten im Term | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Achsensymmetrie zur y-Achse | \(f(-x)=f(x)\) | alle gerade (Absolutglied als \(x^{0}\) mitzählen) | \(f(x)=3x^{4}-x^{2}+2\) |
| Punktsymmetrie zum Ursprung | \(f(-x)=-f(x)\) | alle ungerade, kein Absolutglied | \(f(x)=2x^{3}-x\) |
| keine der beiden Symmetrien | \(f(-x)\neq f(x)\) und \(f(-x)\neq -f(x)\) | gerade und ungerade gemischt | \(f(x)=-x^{4}+4x^{3}\) |
Symmetrie nachweisen: Graph und Exponenten liefern nur eine Vermutung; erst die Rechnung mit \(f(-x)\) ist der Nachweis.
Drei Schritte: Graph ansehen, Exponenten prüfen (alle gerade, alle ungerade oder gemischt), \(f(-x)\) bilden und mit \(f(x)\) und \(-f(x)\) vergleichen.
Keine Symmetrie: Bei gemischten Exponenten ist \(f(-x)\) weder \(f(x)\) noch \(-f(x)\).
Allgemeine Hinweise
Ein Punkt reicht nicht
Die Bedingung muss für alle \(x\) gelten. Ein passender Punkt ist nur ein Indiz.
Absolutglied beachten
Ein Absolutglied \(a_{0}\neq 0\) zerstört die Punktsymmetrie. Die Achsensymmetrie stört es nicht.
Gegenbeispiel genügt
Für „keine Symmetrie“ reicht eine Stelle, an der die Bedingung scheitert. Etwa \(f(-1)\neq f(1)\) und \(f(-1)\neq -f(1)\).