Ein Produkt aus Linearfaktoren
Neben der Summenform gibt es eine Produktform. An ihr liest du die Nullstellen ohne Rechnung ab.
- Linearfaktor:ein Faktor \((x-x_{i})\) vom Grad 1; auch \(x=(x-0)\) ist einer.
- Produktdarstellung:\(f(x)=a\cdot(x-x_{1})\cdot\ldots\cdot(x-x_{n})\) mit \(a\neq 0\).
- Grad:die Anzahl der Linearfaktoren.
- Leitkoeffizient:der Faktor \(a\) vor dem Produkt.
Orange der Leitkoeffizient, blau die drei Linearfaktoren, grün die Zahlen, aus denen die Nullstellen entstehen. Wie viele Klammern dastehen, so groß ist der Grad.
Ausmultiplizieren führt zurück zur Standardform. Der umgekehrte Weg ist viel schwerer.
- Schritt 1:\((x-6)(x+4)=x^{2}+4x-6x-24=x^{2}-2x-24\).
- Schritt 2:\(x\cdot(x^{2}-2x-24)=x^{3}-2x^{2}-24x\).
- Ergebnis:Grad 3, Leitkoeffizient 1, Absolutglied 0 wegen des Faktors \(x\).
Produktdarstellung: \(f(x)=a\cdot(x-x_{1})\cdot(x-x_{2})\cdot\ldots\cdot(x-x_{n})\)
Linearfaktor: ein Faktor \((x-x_{i})\) vom Grad 1; der Grad der Funktion ist die Anzahl der Linearfaktoren.
Leitkoeffizient: der Faktor \(a\neq 0\) vor dem Produkt.
Ausmultiplizieren: Es führt zurück zur Standardform.
Nullstellen direkt ablesen
Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. Also setzt du jeden Faktor einzeln gleich null.
- Beispiel:\(x\cdot(x-6)\cdot(x+4)=0\) liefert \(x_{1}=0\), \(x_{2}=6\) und \(x_{3}=-4\).
- Vorzeichen kippt:\((x+4)\) gehört zu \(-4\), \((x-6)\) gehört zu \(6\).
- Faktor \(a\):ist nie null und ändert keine Nullstelle.
- Höchstens \(n\):mehr Nullstellen als Linearfaktoren gibt es nicht.
Drei Faktoren, drei winzige Gleichungen, drei Nullstellen. Beachte die letzte Zeile: Der Faktor \((x+4)\) gehört zur Nullstelle \(-4\), nicht zu \(+4\).
Die Zahlen \(-4\), \(0\) und \(6\) aus den Faktoren finden sich exakt dort wieder, wo der Graph die \(x\)-Achse kreuzt. Zwischen den Nullstellen wechselt der Graph jeweils das Vorzeichen.
Satz vom Nullprodukt: \(u\cdot v=0\;\Leftrightarrow\;u=0\ \text{oder}\ v=0\)
Nullstellen ablesen: Jeder Faktor wird einzeln gleich null gesetzt; \((x+4)\) gehört zu \(-4\), das Vorzeichen kippt.
Faktor \(a\): Er ist nie null und ändert keine Nullstelle.
Anzahl: Es gibt höchstens so viele Nullstellen wie Linearfaktoren.
Setze bis zu vier Nullstellen und stelle \(a\) ein. Beobachte Produktform (unten im Bild), Standardform (oben rechts), Grad und Graph.
Das Diagramm ist mit der Tabulatortaste erreichbar: Pfeiltasten links und rechts verschieben die aktive Nullstelle, Pfeil hoch und runter wechseln sie, die Eingabetaste schaltet sie ein oder aus.
Halte fest: Jede abgeschaltete Nullstelle senkt den Grad um 1. Ein anderes \(a\) verschiebt keine Nullstelle.
Aus Nullstellen einen Term bauen
Sind die Nullstellen bekannt, schreibst du zu jeder ihren Linearfaktor hin. Dann setzt du \(a\) davor.
- Schritt 1:zu \(x_{i}\) den Faktor \((x-x_{i})\) bilden, das Vorzeichen kehrt sich um.
- Schritt 2:alle Faktoren multiplizieren und \(a\) davorsetzen, ohne Vorgabe \(a=1\).
- Beispiel:Nullstellen \(-2\), \(4\), \(-1{,}5\), \(0{,}5\): \(f(x)=(x+2)(x-4)(x+1{,}5)(x-0{,}5)\), Grad 4.
- Nicht eindeutig:jedes \(a\neq 0\) passt; erst eine Zusatzbedingung wie ein Funktionswert legt \(a\) fest.
Term aus Nullstellen: Zu jeder Nullstelle \(x_{i}\) gehört der Linearfaktor \((x-x_{i})\); das Vorzeichen kehrt sich um.
Vorgehen: Alle Faktoren multiplizieren und \(a\) davorsetzen, ohne Vorgabe \(a=1\).
Nicht eindeutig: Jedes \(a\neq 0\) passt; erst eine Zusatzbedingung wie ein Funktionswert legt \(a\) fest.
Wenn ein Faktor kein Linearfaktor ist
Direkt ablesen kannst du nur bei Faktoren der Form \((x-x_{i})\). Sonst formst du zuerst um.
- Zahl vor \(x\):\(2x+2=2\cdot(x+1)\); die 2 wandert in den Leitkoeffizienten.
- Grad zu hoch:\(x^{2}-4x=x\cdot(x-4)\).
- Zusammen:\((x^{2}-4x)(2x+2)=2\cdot x\cdot(x-4)\cdot(x+1)\) mit den Nullstellen \(0\), \(4\), \(-1\).
- Keine Nullstelle:\(x^{2}+9=0\) hat keine reelle Lösung; \((x^{2}-9)(x^{2}+9)\) hat nur \(3\) und \(-3\).
- Doppelt:\((x-3)^{2}\) zählt für den Grad zweimal, liefert aber nur \(x=3\).
Links und in der Mitte hilft Umformen weiter, rechts nicht: \(x^{2}+9\) lässt sich über den reellen Zahlen nicht in Linearfaktoren zerlegen und trägt keine Nullstelle bei.
| Faktor | Beispiel | Beitrag zum Grad | Nullstelle(n) |
|---|---|---|---|
| Linearfaktor | \((x-6)\) | 1 | \(x=6\) |
| Linearfaktor mit Zahlfaktor | \((2x+2)=2\cdot(x+1)\) | 1 | \(x=-1\); die 2 geht in \(a\) |
| zerlegbarer Faktor | \((x^{2}-4x)=x\cdot(x-4)\) | 2 | \(x=0\) und \(x=4\) |
| mehrfacher Linearfaktor | \((x-3)^{2}\) | 2 | nur \(x=3\), doppelt |
| ohne reelle Nullstelle | \((x^{2}+9)\) | 2 | keine |
Entscheide für acht Faktoren: schon ein Linearfaktor, erst umformen oder gar keine reelle Nullstelle? Wähle zuerst einen Faktor und danach die passende Schublade.
Pfeiltasten wechseln zwischen den Faktoren, die Eingabetaste wählt aus; die Ziffern 1, 2 und 3 wählen die Schublade.
Wähle zuerst einen Faktor aus und danach die passende Schublade.
Halte fest: Die meisten Faktoren brauchen erst eine Umformung. Nur ein Faktor ohne reelle Nullstelle beendet die Suche.
Kein Linearfaktor: Direkt ablesen kannst du nur bei Faktoren der Form \((x-x_{i})\); sonst zuerst umformen.
Umformen: Eine Zahl vor \(x\) wandert in den Leitkoeffizienten (\(2x+2=2\cdot(x+1)\)), ein zerlegbarer Faktor wird ausgeklammert (\(x^{2}-4x=x\cdot(x-4)\)).
Mehrfach: \((x-3)^{2}\) zählt für den Grad zweimal, liefert aber nur \(x=3\).
Keine Nullstelle: \(x^{2}+9\) hat keine reelle Lösung.
Allgemeine Hinweise
Vorzeichen kippt
\((x+4)\) gehört zur Nullstelle \(-4\). Prüfe durch Einsetzen, ob der Faktor null wird.
Zahlfaktor behalten
Beim Ausklammern wandert die Zahl in \(a\). Ohne sie stimmen die Nullstellen, aber nicht die Funktionswerte.
Produktform behalten
Multipliziere nur aus, wenn es verlangt ist. In der Produktform siehst du die Nullstellen sofort.